奇异Liénard方程周期解问题

郑淑媛，鲁世平

（安徽师范大学 数学计算机科学学院，安徽 芜湖 241003）

0 引言

在动力系统理论研究中，具有奇性微分方程周期正解存在性问题一直吸引着很多学者的眼球［1-9］，它起源于电子学理论中的电子束Brillouin聚焦问题，该问题可转化为探讨微分方程

周期正解的存在性［1］.1972年，文［2］探讨了更广泛的电子束聚焦系统

周期正解的存在性.文［3］研究了一类具有奇性的Liénard微分方程

的周期正解的存在性问题，其中，f:R→R,g:R×(0,∞)→R是L2-Carathéodory函数，且关于t为T-周期函数，并且在x=0 为奇点，即当x→0 时，g(t,x)→∞ 关于t∈R一致成立，令

文［3］得到下面的结论：

定理1假设下面的条件都成立：

（h1）存在常数0＜D1＜D2，如果x(t)是一个T-周期连续正函数且满足

则D1≤x(τ)≤D2；

（h2）令

（h3）令g(t,x)=g0(x)+g1(t,x)，这里g0∈C((0,+∞),R),g1:[0,T]×[0 ,+∞)→R是L2-Caratheodory 函数.g1关于t是可测的，关于x是连续的，对 ∀b＞0,∃hb∈L2((0,T),[0 ,+∞))使得

（h4）在x=0 处

（h5）

成立，则方程（1）至少存在一个T-周期正解.

文［4］中利用Mawhin重合度拓展定理和一些技巧进一步探讨了一类具有奇性的时滞Liénard方程周期正解的存在性问题，并部分推广了文［3］的结果.有关利用锥上不动点定理和上、下解方法，研究奇异系统周期正解的存在性问题的最新成果可参见文［10-15］.

在前人的研究基础上，我们将研究方程

的T-周期正解的存在性，其中，f:R→R是连续的；g0∈C((0,∞),R)在x=0 具有奇性，且g1:[ 0,∞)→R连续；p∈C(R,R)，是T-周期的，并满足但是不满足条件（h），

5而（h5）是文［3-4］的关键条件，这就是和前人研究的区别所在.

1 预备定理

令X,Y是两个Banach 空间，L:D(L)⊂X→Y是一个指标为零的Fredholm 算子，则存在投影算子P:X→ kerL,Q:Y→Y，且满足 kerL=ImP,kerQ=ImL.于是

由此可得

是可逆的，设其逆为KP:ImL→D(L)⋂ kerP.设Ω⊂X为有界开集，如果有界，且为X中的紧集，则称非线性算子N在上是L-紧的.

引理 1.1［16］令X,Y是两个 Banach 空间，L:D(L)⊂X→Y是一个指标为零的 Fredholm 算子，且N:→Y在上是L-紧的，其中是X中的有界开集，并且下面所有条件都满足：

（1）对于所有(x,λ)∈[(D(L)⋂∂Ω]×(0,1)有Lx+λNx≠0 ；

（2）对于所有x∈kerL⋂∂Ω有Nx∉ImL；

（3）deg{JQN,Ω⋂ kerL,0}≠0，其中J:ImQ→kerL是同构的.

那么Lx+Nx=0在至少有一个解.

为了应用Mawhin重合度拓展定理，令

线性算子L:D(L⊂X→Y，定义为

非线性算子N:X→Y，定义为

易得

投影算子P:X→kerL,Q:Y→Y分别定义为

由（5）式得对任意的有界开集Ω⊂X，非线性算子N在上是L-紧的.

2 主要结果

定理2.1如果g1∈C((0,+∞),(0,+∞)),g0∈C((0,+∞),(-∞,0))，且下列条件成立

［H1］f∈C((0,∞),R)，且存在常数σ＞0，使得|f(u)|≥σ,u∈(0,+∞);

［H2］存在常数0＜D2＜D1，如果x(t)是一个T-周期连续正函数且满足

则存在ξ∈[0,T]，使得D2≤x(ξ)≤D1；

［H4］g1(x(t))+g0(x(t))＞0，当x∈(0,D2)时，g1(x(t))+g0(x(t))＞0，当x∈(D1,+∞)时，其中D1,D2为由［H2］所确定的常数；

那么方程（2）至少有一个T-周期正解.

证明设u(t)为方程

任意T-周期正解，其中L和N分别由（3）和（4）式所定义，即u(t)满足方程

我们往证存在和λ及具体的u(t)无关的三个正常数M0,M1,γ0使得

为了证明（7）式，将方程（6）两端分别在区间[0,T]上积分得

利用假设［H2］可知，存在ξ∈[0,T]和两个正常数D1和D2使得

将（6）两边同时乘以u′(t)，并在[0,T]上积分得到

即

利用假设［H1］得

进而由（10）式得

再利用Hölder不等式得

即

由（9）和（11）式得，对任意t∈[ξ,ξ+T]，使得

由（6）式得

在[0,T]上其两边积分，可得

因此由（13）式得

因为x(0)=x(T)，所以存在τ∈[0,T]，使得u′(τ)=0.又对于t∈[τ,τ+T]，有

所以可得

在方程（8）两边同乘以u′(t)，并在 [ξ,t]⊂[ξ,ξ+T]上积分，可得

其中ξ∈[0,T]由（9）式所确定，结合（11）和（14）式得

因此

如果存在t1∈[ξ,ξ+T]，使得u(t1)＜ε0，根据（17）式可得

但是（16）与（17）相矛盾.此矛盾说明u(t)＞ε0,t∈[ξ,ξ+T].令γ0=ε0，则

由（12），（15）和（19）式可知不等式（7）正确.

定义Ω={x∈X,R1＜X(t)＜R2,|x′(t)|＜R3,∀t∈[0,T]}.

这里 0＜R1＜min{γ0,D1},R2＞max{M0,D2},R3＞M2，因此，引理1.1的条件（1）成立.

如果x∈ ∂Ω⋂kerL，那么x(t)=R1或者x(t)=R1，因此有

或者

根据（H4），有

因此，对于所有的x∈kerL⋂∂Ω有Nx∉ImL，所以引理1.1的条件（2）成立.

定义J:ImQ=R→kerL=R,J(u)=u,∀u=R，易得

于是

因此，引理1.1的条件（3）也是满足的.由引理1.1得，方程（2）至少存在一个T-周期正解.

例1考虑下列方程

的2π-周期正解存在性问题，

注1从例1易见，g(x)=g1(x)+g0(x)不满足单边线性增长条件［H5］，而［H5］是文［3-4］周期解先验界估计的关键条件.因而，本文的结果是具有新意的，它丰富了文［3-4］相应结果.

［1］丁同仁.关于周期性Brillouin电子束聚焦系统的一个边值问题［J］.北京大学学报，1965，1：31-38.

［2］叶彦谦，王现.在电子聚焦理论中的非线性微分方程［J］.应用数学学报，1978，1：13-41.

［3］ZHANG M.Periodic solutions of Liénard equations with singular forces of repulsive type［J］.J Math Anal Appl，1996，203：254-269.

［4］WANG Z H.Periodic solutions of Liénard equation with a singularity and deviating argument［J］.Nonlinear Analysis，2014，16：227-234.

［5］FONDA A，MAnASEVICH R，ZANOLIN F.Subharmonic solutions for some second order differential equations with singu⁃larities［J］.SIAM J Math Anal，1993，24：1294-1311.

［6］TORRES P J.Existence of one-signed periodic solutions of some second order differential equations via a Krasnoselskii fixed point theorem［J］.J Differential Equations，2003，190：643-662.

［7］HABERTS P，SANCHEZ L.Periodic solutions of some Liénard equations with singularities［J］.Proc Amer Math Soc，1990，109：1035-1044.

［8］JIANG D，CHU J,ZHANG M.Multiplicity of positive periodic solutions to superlinear repulsive singular equations［J］.J Differential Equations，2005，211：282-302.

［9］LAZER A C，SOLIMINI S.On periodic solutions of nonlinear differential equations with singularities［J］.Proc Amer Math Soc，1987，88：109-114.

［10］TORRES P J.Weak singularities may help periodic solutions to exist［J］.J Differential Equations，2007，232：277-284.

［11］FRANCO D，WEBB J K L.Collisionless orbits of singular and nonsingular dynamical systems［J］.Discrete Contin Dyn Syst，2006，15：747-757.

［12］BONHEURE D，FABRY C，SMETS D.Periodic solutions of forced isochronous oscillators at resonance［J］.Discrete Con⁃tin Dyn Syst，2002，8（4）：907-930.

［13］BONHEURE D，DE COSTER C.Forced singular oscillators and the method of upper and lower solutions［J］.Topol Meth⁃ods Nonlinear Anal，2003，22：297-317.

［14］ROBERT H，TORRESB P J.On periodic solutions of second-order differential equations with attractive-repulsive singu⁃larities［J］.Journal of Differential Equations,2007,239:196-212.

［15］CHU Jifeng，TORRES P J，ZHANG Meirong.Periodic solutions of second order nonautonomous singular dynamical sys⁃tems［J］.J Differential Equations，2007，239：196-212.

［16］GAINES R E，MAWHIN J L.Lecture notes in mathematics［M］.Berlin:Springer-Verlag，1977.