状态观测器在直线一级倒立摆系统中的应用

马燕++徐立军

摘 要：本文利用了MATLAB仿真平台对设计的状态观测器进行仿真，并将其应用在直线一级倒立摆系统中，证明了控制器设计的正确性与有效性；最后在基于状态观测器的倒立摆闭环控制系统上施加了随机扰动，通过SIMULINK仿真分析状态观测器的抗干扰能力。

关键词：直线一级倒立摆；状态观测器；抗扰性

0 引言

对于完全能控的线性定常系统，可以通过线性状态反馈任意配置闭环系统的极点，并使系统在李雅普诺夫意义下渐进稳定。但由于种种原因（外界干扰等），系统的状态变量不能直接测量， Luenberger提出的状态观测器理论，解决了在确定性条件下受控系统的状态重构问题。当系统完全可观时，状态反馈成为一种现实的控制律，状态观测器的物理实现成为可能[2]。倒立摆是处于倒置不稳定状态、通过人为控制使其处于动态平衡的一种摆，是一个多变量、强耦合、自然不稳定系统，是重心在上、支点在下控制问题的抽象，使其更具有研究价值和意义。

1 直线一级倒立摆系统的稳定性

1.1 直线一级倒立摆系统的模型

倒立摆系统是一种复杂的要求快速性很高、有很强的非线性系统。为了简化直线一级倒立摆系统分析，在建立实际数学模型过程中，基于以下假设：

（1）忽略空气阻力；（2）将系统抽象成小车和均质刚性杆组成的系统；（3）忽略摆杆与支点之间等的各种次要摩擦阻力；（4）皮带轮与传送带之间无滑动，传送带无伸长现象。

通过简化倒立摆模型，可以得到系统的状态空间方程为：

其中，x—表示小车的位置；—表示小车的位移；—表示摆杆与垂直方向的夹角；—表示小车的角速度。

假定系统物理参数设计如下表所示。

将其在Matlab/Simulink里面搭建仿真模型[2]，如图1所示，仿真结果如图2所示。

由SIMULINK仿真结果可以看出，直线一级倒立摆系统是一个不稳定的系统。

1.2 直线一级倒立摆系统的能控能观性

在MATLAB环境中，编写如下输入程序：

A=[0 1 0 0；0 -0.0914849 0.689655 0；0 0 0 1；0 -0.234577 26.8966 0]

B=[0；0.914849；0；2.34577]

C=[1 0 0 0；0 0 1 0]

M=ctrb（A，B）

N=obsv（A，C）

p=rank（M）

q=rank（N）

[n，m]=size（A）；

if p==n

disp（‘系统是能控的）

else disp（‘系统是不能控的）

end

if q==m

disp（‘系统是能观的）

else disp（‘系统是不能观的）

end

运行结果如下：

p=4

q =4

系统是能控的

系统是能观的

综上所述，得出这样一个结论：直线一级倒立摆系统是一个不稳定的但能控能观的系统。

2 状态观测器的设计

2.1 全维状态观测器的设计

状态反馈能任意配置闭环系统的极点，有效地改善系统的性能。要利用状态反馈，必须要得到系统内部的各个状态变量x（t），可是系统的状态变量一般是难以获取的，甚至无法测量，这个时候就需要设计状态观测器来重构系统的状态[1]。

在SIMULINK环境中，搭建其模型并进行仿真[3]，仿真结果如图3所示。

由仿真结果可知，系统最终达到稳态，摆杆角度最终为零，即摆杆保持竖直向上不倒，小车最终也达到平衡位置。

2.2 降维状态观测器的设计

直线一级倒立摆的数学模型是四阶的，但rank（C）=2，即小车位移x和倒立摆的角度 直接由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（二维）状态观测器。

在Matlab中搭建降维观测器的系统框图，其仿真结果如图4所示。

从上图仿真结果来看，倒立摆系统最终保持平衡。小车的位移和单摆的角度都达到了稳态。系统的动态性能和稳态性能都得到了有效地改善，控制效果较好。

3 状态观测器的抗扰性能分析

3.1 全维状态观测器的抗扰性分析

由于降维状态观测器中y通过增益阵直接传递到其输出端，所以若y中包含干扰时它们将全部出现于x中；而在全维状态观测器中，y需要经积分器滤波后才传送到输出端，从而x中由y包含的干扰所引起的影响已大为减少。因此，理论上分析可知全维状态观测器的抗扰性能要优越于降维状态观测器。

对倒立摆系统施加了随机扰动信号“Random Number”，即相当于小车和摆杆受到了一个随机的扰动。

给整个系统施加了一个随机扰动后，系统在平衡点处产生了振荡，变得有些不稳定，不过由于控制器发生了良好的控制作用，摆杆和小车仍然保持在平衡点附近，振荡的幅度较小，这充分说明了全维状态观测器的抗扰性是比较及时的，抗扰性能比较好。

3.2 降维状态观测器的抗扰性分析

在基于降维状态观测器的状态反馈控制系统上，也同样施加了一个随机扰动信号，

在基于降维状态观测器的状态反馈闭环系统上施加了随机扰动之后，系统失去了原先的平衡，并在平衡点处产生了振荡，由于降维状态观测器的控制作用，摆杆和小车始终保持在平衡点的附近。但是与全维状态观测器的抗扰动性能相比较，振荡比较剧烈，幅度明显要大一些。这充分证明了全维状态观测器的抗扰性能要优越于降维状态观测器。

4 结束语

采用状态空间的极点配置法设计控制器，实现了对倒立摆系统的平衡控制，方案设计简单，容易实现。仿真结果也表明，系统的综合性能优良，不仅动态性能、稳态性能良好，而且鲁棒性也比较强。目前，一阶倒立摆控制系统的设计可由多种方法和理论来实现其系统的稳定控制，如自适应、状态反馈、模糊控制和智能控制等。可以尝试采用不同的控制策略有效地改善基于状态观测器的状态反馈控制系统带来的弊端，使得控制系统的性能指标达到所期望的要求。

参考文献：

[1] 田佳，战振忠.基于MATLAB平台的现代控制理论研究[J].吉林工程技术师范学院学报，2010（09）：33-35.

[2] 黄忠霖.控制系统MATLAB计算及仿真[M].北京： 国防工业出版

社，2001.

[3] 李国勇，谢克朋，杨丽娟.计算机仿真技术与CAD[M].第二版.电子工业出版社，2009.endprint