关于ψ的v阶导数和的一个渐近公式

周 焕 芹

(渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南 714099)

【自然科学基础理论研究】

关于ψ的v阶导数和的一个渐近公式

周 焕 芹

(渭南师范学院 数学与信息科学学院，陕西 渭南 714099)

赫尔维茨ζ函数；黎曼ζ函数；微分方程；渐近公式

本文使用以下一些记号:s表示一复变量，并记

定义的,它满足公式[2]

(2)

并且得到渐近公式

(3)

当x→时恒成立.另一方面,公式(2)中，令x=0，得到积分表示式

(4)

此公式对一切u≠-1都成立，且l可以取满足l>Reu+1的任意自然数.在区域Reu

在这一主要部分里,规定u=-v,Lu(x)=Lu(x-1,1),我们将得出和式中的一般表示式为

对任意u∈C，这结论都成立.

证明 由于ψ(z)满足基本微分方程

容易得出

由此可得

对(8)式两边在k≤x范围内求和,并且交换和式的次序,则可得

(9)

代入(9)式整理后可得到(6)式,于是完成了定理1的证明.

定理2 对于和式Su(x),可以得出渐近公式：

(10)

为了证明定理2，首先给出以下引理及其证明.

证明 已知公式

再运用(3)式可得

(13)

把第一项与第二项合并可得

(14)

再运用引理中的公式,我们把第一项进行变换,因为xu-r+1的第三个因式是

把上式代入(14)式,整理后即可得到公式(3).于是就完成了定理2的证明.

[1]ElizaldeE.AnasymptoticexpansionforthederivativeofthegeneralizedRiemannZetafunction[J].Math.Comput,2006,47:347-350.

[2] 周焕芹.关于赫尔维茨ζ函数导数的积分渐近展开式[J].渭南师范学院学报,2014,29(11):5-7.

[3]KanemitsuS,KumagaiH,SrivastavaHM,etal.SomeintegralandasymptoticformulasassociatedwiththeHurwitzZetafunction[J].Appl.Math.Comput,2004,154(3):641-664.

[4]S.Kanemitsu,T.Kuzumaki，M.yoshimoto.SomesumsinvolvingFareyfractionsII[J].J.Math.Soc.Japan,2000,52:915-947.

[5]H.M.Srivastava，J.S.Choi.SeriesAssociatedwiththeZetaandRelatedFunctions[M].Dordrecht:Kluwer,2001.

【责任编辑 牛怀岗】

On the Asymptotic Formula for the Sum of ThevDerivative ofψ

ZHOU Huan-qin

(School of Mathematics and Information Science, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Hurwitz Zeta function; Riemann Zeta function; differential equation; asymptotic formula

2015-04-01

渭南师范学院特色学科建设项目：数学方法在秦东经济社会发展中的应用(14TSXK02);渭南市科技局科研基金资助项目：量子信息论的数学基础研究(2014KYJ-4)

周焕芹(1962—)，女，陕西澄城人，渭南师范学院数学与信息科学学院教授，主要从事函数论研究.

O

A

1009-5128(2015)10-0018-04