一类发展p（x）－Laplace方程解的存在唯一性

2015-06-23赵江艳詹华税

厦门理工学院学报 2015年5期

关键词：边值问题定理定义

赵江艳，詹华税

(1.集美大学理学院,福建厦门361021;

2.厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

一类发展p（x）－Laplace方程解的存在唯一性

赵江艳1，詹华税2

(1.集美大学理学院,福建厦门361021;

2.厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024)

研究了具有p（x）增长条件且吸附项为－uq（x）的一类非线性抛物型方程ut＝div（|∇u|p（x）－2∇u）－uq（x），x∈Ω，0＜t＜T的初边值问题，其中inf p（x）＞2，运用差分方法将抛物问题转化为椭圆型问题，证明了该问题解的存在性与唯一性.

初边值问题；p（x）－Laplace方程；差分法

假设Ω是具有Lipschitz连续条件的有界区域,考虑如下初边值问题

其中ΓT＝∂Ω×(0,T］,p(x)是可测函数.

当p(x),q(x)为常数时,很多研究者已经对这类问题做了深入的研究［1－5］,并且证明了解的存在性、唯一性及其正则性等.1931年,波兰数学家W.Orlicz首先提出了变指数Lebesgue空间的概念［6］.随后,O.Kovacik对变指数Lebesgue空间及Sobolev空间进行了深入的研究［7］,并取得了突破性的进展.在80年代中期,V.V.Zhikov对与变指数空间有着密切相关的空间展开了研究,即具有非标准增长条件的变分空间［8］.范先令在1995年前后将V.V.Zhikov的工作继续研究,并得到了很好的结果［9］.p(x)增长问题可以看成是非标准增长问题的一种特殊情况,它在非线性弹性力学、流变电流学以及其他物理现象方面有着重要的应用.关于具有变指数增长条件问题的研究已经得到了很多结论［10－14］.本文采用对时间差分方法研究带有吸附项的发展的p(x)－Laplace方程初边值问题在p(x)＞2时解的存在性.文献［10］中吸附项为f(x,t,u),本文采用类似的思想,将其吸附项给定为－uq(x),由于涉及到不同的计算技巧,文中对其进行了具体的不同于文献［10］的处理.

1 主要结论

定义1称函数u(x,t)是式 (1)～(2)的弱解,如果u满足以下条件：

在迹的意义下,并且对于任意的φ∈C∞0(QT),以下积分等式成立：

对任意的ψ(x)∈C∞0(Ω),有成立,其中QT＝Ω×(0,T).

为了研究式 (1)～(2)解的整体存在性,需要对q(x)做出限制,即0≤q(x)＜p－－1.下面给出本文的主要结果.

定理2满足定理1的非负解是唯一的.

2 一类差分方程的弱解存在性

首先,令

定义

类似文献可证明引理1.

引理2令u＋＝max｛0,u｝假设u是引理1所得最小值,则对任意k≥1,u和－u满足

其中Dk＝｛x∈Ω：u(x)＞k｝.

证明对于任意0≤ε＜1,有u－ε(u－k)＋∈S,以及

记

现在考虑以下问题：

其中h为大于零的常数.

证明根据引理1,类似于引理2,对于0＜ε＜1和η∈C∞0,有ui±εη∈S,并且有

因此可得

将ψi(u)的定义代入即可得：

即证ui是式 (9)～(10)的一个弱解.

3 弱解的整体存在性和唯一性

假设lh≤T＜(l＋1)h,其中l为整数.定义u(h)：Ω×［0,∞)→R使得

其中ui是引理3中得到的弱解.

下面将证明序列u(h)收敛,并且证明极限函数u即是问题 (1)～(2)的解.

令

因此,

在上式中对i进行求和,结合u(h)的定义,可以得到

注释1根据引理4的证明过程,在其过程中取k＝0和q＝1,则有

定义一个新的泛函w(h),

则可以得到：

证明直接计算可得

引理8根据注释2,可得存在一个新定义的子序列｛u(h)｝使得：当h→0时

从而可得,

即证存在一个子列u(h)使得 (23)成立.接下来考虑w(h).因为

根据式 (26)(27)和引理7,可以得到w(h)和∇w(h)在L2(QT)中一致有界.因为

根据Hölder不等式,当h→0时

对τ～进行积分,结合引理7,8和注释1可以证得u是方程(1)的一个弱解.同时,类似于［10］可以证明u满足初始条件.

证明定理2下面证明式(1)～(2)解的唯一性,证明方法类似于文献［10］.

假设u,v是式 (1)～(2)的两个非负解,取u－v作为试验函数,可以得到：

由中值定理可得,

由此可得u＝v,即唯一性得证.

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Existence and Uniqueness of Solutions to the Evolutionary p（x）－Laplacian Equation

ZHAO Jiang-yan1，ZHAN Hua-shui2
（1.School of Sciences，Jimei University，Xiamen 361021，China；2.School of Applied Mathematics，Xiamen University of Technology，Xiamen 361024，China）