玻璃微珠目数与砂床特征的回归分析模型

张洁，陈文，康晓娜，刘松青，赵志良，王双威

（1.中国石油钻井工程技术研究院，北京100083；2.北京师范大学，北京100875；3.中国石油长城钻探工程公司井下作业公司，北京100101）

储层段漏失易造成储层污染严重等诸多问题［1-3］，发展储层段防漏堵漏技术迫在眉睫，但一直没有配套的评价方法。采用常规堵漏仪，很难与储层参数（渗透率、孔隙度、孔隙直径等）相匹配［4-7］；而采用常规的储层保护评价方法，不仅很难真实地反映储层段堵漏材料的堵漏和储层保护效果，而且会损害仪器。国外学者发明的可视式中压砂床滤失仪，可以直观定量地评价储层段渗漏及中小漏的堵漏效果。但是，如何根据储层孔隙度、孔隙直径等参数确定砂床规格，一直没有规范可以参考。为此，笔者借助扫描电镜，利用回归分析模型研究了玻璃微珠目数与砂床特征的关系。

1 实验方法

1.1 孔隙直径测定

将6 种不同规格的玻璃微珠烘干24 h 以上，分别放进玻璃圆筒中，轻拍上口多次，使得玻璃微珠紧实稳定。然后，迅速将圆筒倒置于导电胶布之上，并施加一定的压力，使得玻璃微珠不至于变形而影响孔隙直径的测定。最后，将6 种样品分别放入扫描电镜样品池中，通过扫描电镜自带的图片分析软件测定孔隙直径。

1.2 孔隙体积及孔隙度测定

将玻璃微珠烘干至少24 h，分别将50 mL 玻璃微珠装入内径为2.5 cm 的具塞量筒中，缓缓加入蒸馏水，使得砂床液面保持在50 mL。速度要慢，时间要充足，使得水充分渗透，将孔隙中的空气排干净。记录此时滴入具塞量筒中的水的体积，即为孔隙体积Vp，而砂床的体积为50 mL，则孔隙度为φ=Vp/50×100%。

2 实验结果与数据处理

2.1 孔隙直径测定结果

整理不同目数的玻璃微珠对应砂床的孔隙直径数值，结果如表1所示。

表1 不同目数玻璃微珠对应砂床的孔隙直径数值

2.2 回归分析模型对比

回归分析是研究因变量与自变量之间变动比例关系的一种方法，分为线性回归方法和非线性回归方法2 种［8-10］。本文以线性回归模型、线性模型EM 算法及非线性模型EM 算法分别建立了相应的3 个回归分析模型。

2.2.1 线性回归模型

线性回归模型为Y=β0+β1X+e，e～N（0，σ2）。其中，X 为玻璃微珠的目数，Y 为砂床的孔隙直径，e 为残差，σ 为标准估计误差，N（0，σ2）为正态分布。应用最小二乘估计法，得到的估计值是＝153.276，＝-1.309，＝33.523 10。线性回归模型的优点是简单方便，但只能用到确定目数的数据，20～40 目及40～60 目玻璃微珠对应砂床的孔隙直径无法用上，此模型不一定合理。

2.2.2 线性模型EM 算法

该方法是保留确定目数及范围目数的数据。线性EM 算法模型为Y=β0+β1X+e，e～N（0，σ2）。应用最小二乘估计法，得到的估计值是＝178.827 0，＝－1.712 352，＝33.476 21。相较于线性回归模型，线性模型EM 算法的优点是用到了所有的数据。

2.2.3 非线性模型EM 算法

非线性EM 算法模型为Y=β0+β1X-1+e，e～N（0，σ2）。应用最小二乘估计法，得到的估计值是＝17.263 34，＝3 132.142，＝29.306 08。非线性模型EM算法与线性回归模型对比，优点是用到了所有数据；与线性模型EM 算法对比，优点是考虑了实际情况，即砂床孔隙直径与玻璃微珠目数的关系呈反比例趋势。

这3 种模型的显著性均小于0.05，说明模型都通过了参数显著性检验，建立的回归方程具有统计学意义。3 种模型的拟合程度对比结果，如表2所示。其中，R2表示模型的拟合程度，其值越大，说明模型拟合越好。由表2可看出，非线性模型EM 算法的R2最大，说明其拟合程度相对其他2 种方法更好。所以，决定采用非线性模型EM 算法，来描述玻璃微珠目数与紧密排列时孔隙直径之间的关系。

表2 模型拟合程度对比

2.3 模型预测关系

非线性模型EM 算法的结果为

Y=17.263 34+3 132.142/X+e，e～N（0，29.306 082）

用横轴表示残差e 的假设分布的分位数，纵轴表示真实分布的分位数，绘制该模型的常规Q-Q 图，表征残差e 的真实分布（真实模型）和假设分布（假设模型）的匹配程度（见图1）。

图1 常规Q-Q

从图1可看出，这些散点恰好落在第一象限的角分线上，说明真实分布与假设分布对应良好，即残差e的真实分布可认为呈假设的正态分布。以残差e 为纵坐标、以Y 值为横坐标，绘制该模型残差图，以验证残差e 的真实分布是否为假设的正态分布（见图2）。

从图2可看出，残差e=Y-17.263 34-3 132.142X-1，这些点均匀散落在以0 轴为中心的带状区域内，说明残差e 的分布是均值为0 的正态分布。将20～40 目及40～60 目玻璃微珠的真实目数补出来，绘制Y 与X-1的关系图（见图3）。结果表明，用模型预测补出的散点与真实的情况大概落在一条直线上，说明建立Y 与X-1为直线关系是合理的。

图2 非线性EM 模型残差

图3 Y-X-1 关系

下面根据非线性模型EM 算法的结果，来预测砂床孔隙直径最大概率下的波动范围。当X 取20 目时，孔隙半径应在173.870 μm 附近波动，在置信度为95%的情况下，波动范围为116.431 60～231.309 30 μm。当X 取其他值时，用上述方法进行估计，结果如表3所示。

表3 玻璃微珠目数与砂床孔隙直径的关系

2.4 孔隙体积及孔隙度测定结果

不同目数玻璃微珠对应砂床的孔隙体积及孔隙度值，如表4所示。

表4 玻璃微珠对应砂床的孔隙体积及孔隙度

根据表3及表4中不同目数玻璃微珠对应砂床的孔隙直径及孔隙度的范围，结合储层段岩心的压汞数据分析及常规孔渗分析数据，选择最匹配目数的玻璃微珠作为砂床。

3 结论

1）测定了玻璃微珠对应砂床的孔隙直径及孔隙度值，并通过3 种模型对比，采用拟合度最高的非线性模型EM 算法来建立玻璃微珠目数与紧密排列时孔隙直径的对应关系，并根据该模型预测了95%置信度下砂床孔隙直径的波动范围。

2）通过预测不同目数玻璃微珠对应砂床的孔隙直径及孔隙度的范围，建立了玻璃微珠目数与砂床特征的对应关系，从而改进了可视式中压砂床滤失评价方法，建立了一种可以与储层参数相匹配的储层段防漏堵漏评价方法。

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