谈大学物理微积分思想和方法

王娜

大学物理是高等学校面向广大理工科生开设的一门公共基础课程，区别于高中物理，它要求学生更多地运用微积分思想和方法处理物理问题，从而体会物理思想以提高解决物理问题的能力。对于中学阶段主要应用代数运算的大一学生而言，微积分思想和方法是他们在大学物理学习中面对的最困难的问题。纵观整个教学内容，微积分思想和方法在力学、电磁学和热学部分都有应用，但是总结起来可以分为两类，一类是速度为代表的微分思想，另一类是功为代表的积分思想。力学部分是学生接触微积分思想和方法的第一站，也是最具有代表性的部分。本文通过描述速度、加速度、功和万有引力势场的定义以及计算中微观量的物理意义，给出大学物理中微积分思想和方法应用的特点。

一、速度和加速度

1.历史和定义。17世纪，工业和科技的发展向数学提出了许多问题，促使了微积分学科的诞生。这些问题被称为“四类问题”，其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。在变速直线运动中，路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。若无限短路程用ds表示，对应的无限短时间用dt表示，则速度v=，其中微小量ds和dt被称为微分量，这种方法被称为微积分方法。这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立，它的第一个应用就是给出速度的概念。

2.微分量的物理意义。定义中无限短路程近似为无限小直线段，无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。例如，直线运动（假设沿x轴），速度表示为v=。推广到具有普遍意义的三维空间，情况又怎样呢？依据运动的叠加原理不难想象，在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds（直线段）可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果，即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。我们用矢量来表示这个合效果，无线短路程ds对应的矢量用d表示，即（d=dx+dy+dz（dx、dy、dz是d三个正交分量的数值），dt时间内每一维均对应匀速直线运动，即速度的三个正交分量的数值分别为vx=，vy=，vz=.也可以写成矢量式.

3.加速度。加速度是为了描述速度的变化而引入的新概念，类比速度的概念，加速度被定义为速度对时间的变化率。比如直线运动，若无限短dt时间内速度增量为dv，则加速度a=，即dt时间内质点的运动近似为匀变速直线运动（加速度不变）。类比速度，很容易推导出直角坐标系下的加速度公式。在速度空间中dt时间内物体的微小速度增量dv（直线段）可以看成dt时间内沿x方向增量dvx、沿y方向增量dvy、沿z方向增量dvz的合效果，即dv是边长为dvx、dvy、dvz的平行六面体的体对角线。dt时间内每一维均对应匀变速直线运动，即加速度的三个正交分量的数值分别为：ax=，ay=，az=.也可以写成矢量式.

二、功

1.历史和定义。若给物体加上一个力，使得物体沿着力的方向上移动的时候，我们说力对物体做了功。如物体在力F的方向上移动的距离为S，这个力对物体所做的功就是W=FS，若力的方向与物体位移方向不一致的时候，力对物体所做的功等于力与移动距离在力的方向上的分量的乘积或者等于移动距离与力在移动距离上的分量的乘积，可以用数学矢量式表示上述定义，即W=·.上述结论适用于恒力作用下的直线运动，这也是较为简单的一种运动形式，但是物体运动形式往往要复杂得多。

2.微分量的物理意义。当力不再是恒力，面对的又是复杂的曲线运动时，必须将路程分成许许多多个无限短的路程ds（直线段），质点在每一个ds上所受的力可以视为恒力。因此，每一个ds上质点的运动近似为恒力作用下的直线运动。任一ds上，力F所做的无限小的功，又称元功可以表示为：dw=·d=（x+y+z）·（dx+dy+dz）=Fxdx+Fydy+Fzdz.该表达式与运动的叠加原理也是对应的。功是个过程量，整个曲线运动过程，变力所作的功等于所有元功之和：W=∫·d.

三、万有引力势场

1.历史和定义。万有引力=-G，其中M为施力物体的质量，m为受力物体的质量。万有引力还可以表示为=m，其中=-Gr。易见，无论m存在，总是存在的，它作用于每个可能放在该处的任一质量上。是空间位置的函数，我们称之为万有引力场，也可以说质量为M的物体产生了万有引力场。

2.微分量的物理意义。我们知道万有引力是保守力，而且保守力所作的功等于引力势能（U）增量的负值。例如，直线运动保守力所作的元功根据上述关系可以表示为：dW=Fdx=-dU.考虑元位移上力为恒力，即F=-，这就是由势能函数求力的思路。对于三维情况，不难给出：引入算符.

四、小结

从上文不难看出微积分思想和方法在大学物理上的应用特点，即将复杂的物理问题进行时间、空间范围上的无限次分割，在无限小的局部范围内近似为最基本、最简单、可研究的物理问题，比如直线运动与曲线运动、恒力做功与变力做功等，然后将各个局部结果累加起来，给出问题结果。这种分析和解决问题的思路对电磁学和热学部分同样适用。

（作者单位：安徽科技学院数理与信息工程学院）

□责任编辑：邓 钰