非线性Klein-Gordon方程的广义Herm ite谱方法

陶冬亚，焦 琳，王天军

（1.江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州 221116；2.徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州 221111；3.河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳 471003）

非线性Klein-Gordon方程的广义Herm ite谱方法

陶冬亚1，焦 琳2，王天军3

（1.江苏师范大学数学与统计学院，江苏徐州 221116；2.徐州工程学院数学与物理科学学院，江苏徐州 221111；3.河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳 471003）

对于量子力学中的非线性Klein-Gordon方程提出了广义Hermite谱方法，给出算法格式和收敛性分析，并证明了该方法在空间方向具有谱精度。数值结果表明：所提方法具有有效性，并与理论结果相吻合。

K lein-Gordon方程；广义Hermite谱方法；谱精度

0 引言

通常的谱方法适应于周期问题或者有界区域上的微分方程［1－4］。文献［5］考虑了有界区域上一类非线性Klein-Gordon方程的Legendre谱和拟谱方法。但科学工程上的问题往往归结为无界区域上微分方程，因此，如何求解无界区域上的微分方程是非常重要的。为此，文献［1－2］将无界区域上的问题转化成有界区域上的奇异问题，然后利用有界区域上的Jacobi谱方法进行数值求解。然而，变换之后的微分方程的形式变得更加复杂，使得数值分析变得非常困难。一个有效的方法就是使用无界区域上的正交函数直接数值求解原问题［6－11］。最近，文献［12］提出了一类新的广义Herm ite正交函数系。这给无界区域问题的数值求解提供了强有力的工具。

非线性Klein-Gordon方程在量子力学中起着重要的作用，求解该方程也成为一些学者关心的热点［2］。本文将以定义在全直线上的广义Herm ite正交函数系为基底，提出Klein-Gordon方程新的广义Herm ite谱方法，并进行数值分析。数值结果表明了新方法的有效性。

1 预备知识

记Hl（x）是次数为l的标准Hermite多项式。对于任意的正实数β，文献［12］定义了广义Hermite函数：

2 Klein-Gordon方程的广义Herm ite谱方法

2．1 He rm ite谱格式

众所周知，非线性Klein-Gordon方程在量子力学中起着重要的作用，其一般形式为：

这里假设对于上述所涉及到的范数都是有限的。

3 数值结果

下面将根据谱格式（9）给出数值结果，说明所提格式的有效性。令τ为时间步长。对时间方向用Crank-Nicolson方法进行离散。问题（9）的全离散格式为：

表1 当β＝3时的测试函数（4．3）的逐点误差

表2分别给出了当τ＝0.001时，逐点误差与次数N和参数β的依赖关系。显而易见，随着N的增大，误差快速衰减，这与理论分析相吻合，同时也表明通过选取适合的参数β，可以获得更精确的数值结果。

表2 当τ＝0．001时的测试函数（4．3）的逐点误差

4 结论

本文对于定义在全直线上的非线性Klein-Gordon方程提出了广义Hermite谱方法。利用权函数为1的广义Herm ite函数展开数值解，为数值误差分析带来便利。证明该方法在空间上具有谱精度，数值结果也验证了所提方法的有效性，并与理论分析相吻合。特别是，可适当选取函数e－（βx）2／2中的伸缩因子β，使得数值解更好地逼近正确解。

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O175.2

A

1672－6871（2015）05－0087－05

国家自然科学基金项目（11371123，11171227）；河南省教育厅自然科学基金项目（14B11021）；河南科技大学博士启动基金项目（09001263）

陶冬亚（1977－），女，江苏徐州人，讲师，硕士，研究方向为偏微分方程数值解；王天军（1963－），男，通信作者，河南息县人，副教授，博士，硕士生导师，研究方向为偏微分方程数值解.

2015－04－30