高斯曲率绝妙定理的几种公式的推导方法
2015-06-06邢家省高建全罗秀华
邢家省， 高建全， 罗秀华
(1.北京航空航天大学a.数学与系统科学学院，b.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191；2.平顶山教育学院， 河南平顶山 467000)
高斯曲率绝妙定理的几种公式的推导方法
邢家省1a，1b， 高建全2， 罗秀华2
(1.北京航空航天大学a.数学与系统科学学院，b.数学、信息与行为教育部重点实验室， 北京100191；2.平顶山教育学院， 河南平顶山 467000)
考虑高斯曲率绝妙定理的公式表示问题，运用曲面上基本方程的矩阵表示法，推导出高斯曲率绝妙定理的直接显式公式，指出了高斯曲率隐式公式的验证过程，给出了高斯曲率计算公式Liouville形式的推导过程。
曲面论基本方程；高斯曲率；高斯绝妙定理
曲面上高斯曲率的定义和计算公式是经典曲面论的重要内容[1-6]。曲面上的高斯曲率是曲面的内蕴量[1-7]，这个著名定理是高斯于1827年发现的，称为高斯绝妙定理[2,6]或曲面论的高斯方程，该定理的原始表述形式是用曲面上第一类基本量的隐式表达[1-7]。给出高斯曲率绝妙定理的最终显式表达是研究者的追求，现有文献中给出的推导过程相当繁杂，不利于理解和掌握。研究发现采用曲面论基本方程的矩阵表示法[8-10]，运用矩阵运算就可以很简明的推导出高斯曲率绝妙定理的最终显式表达公式[11-12]，对高斯曲率计算公式的Liouville记忆形式亦给出了推导过程[5]。
1 曲面论基本方程的矩阵方程表形式
给出C3类的正则曲面
按照文献[1-6，9-10]中的符号体系，给出如下一系列记号，
g11g22-g12g21=g
命
是A=(gij)的逆矩阵，
将曲面基本方程改写成矩阵方程形式为[1-6,8-10]：
(1)
(2)
其中，
2 曲面论基本方程中系数矩阵满足的方程
由此，须
利用(1)式，存在可解曲面的充要条件是
(3)
经过代入运算，最后比较左右两端的系数[9-10]，可得
(4)
(5)
3 高斯曲率绝妙定理隐式表示公式的矩阵推导方法
对(4)式右端进行代入运算[9-10]，可得
(6)
由(6)式两边矩阵中右上角的元素对应元素相等，可得[1-6,9-10]
于是高斯曲率有内蕴计算公式[1-6,9-10]
(7)
由(7)式两边矩阵中左下角的元素对应元素相等，可得
于是高斯曲率内蕴计算公式[1-6,9-10]
(8)
比较(6)式中两边矩阵中的对应元素相等，还可得到另外两个形式的等式[1-4]。
4 高斯曲率绝妙定理的最终显式表示公式的矩阵推导方法
在(6)式左端，利用曲面基本方程中系数矩阵的关系，经过代入运算[9-10]，可得(6)式等价于[9-10]
(9)
由(9)式两边矩阵的右上角对应元素相等，可得
[(Γ111g11+Γ211g21)Γ122+
(Γ111g12+Γ211g22)Γ222]+
[(Γ121g11+Γ221g21)Γ112+
(10)
再由
可得
[(Γ111g22-Γ211g12)Γ122+
(-Γ111g12+Γ211g11)Γ222]+
[(Γ121g22-Γ221g12)Γ112+
(-Γ121g12+Γ221g11)Γ212]
(11)
利用
(12)
从而得出
(13)
将(12)式、(13)式的对应项代入(11)式，经过计算化简，可得
(14)
公式(14)就是曲面论中著名的高斯方程[11]，这里给出了最终的显式公式，可以作为标准形式去验证其他形式。
5 高斯曲率绝妙定理的Brioschi公式表示
关于高斯曲率的内蕴量有Brioschi公式[1-6,10]：
(15)
将(15)式展开，则得
(16)
显然(14)式与(16)式是一致的。
6 高斯曲率绝妙定理隐式表示公式的验证推导方法
在一般坐标曲线网下，直接验证[1,2,7,9-10]，成立
(17)
事实上，由
得到
(18)
将(18)式代入(17)式的右端，得到
(19)
对(19)式经过求偏导数计算，可以得出(19)式与(16)式相同，于是(17)式成立。
将(17)式写为显式公式，则为
(20)
类似地，在一般坐标曲线网下，直接验证[1,2,7,9-10]，成立
(21)
事实上，注意到
(22)
将(22)式代入(21)式的右端，得到
(23)
对(23)式经过求偏导数计算，可以得到与(16)式同样的式子，从而(21)式成立。于是，有显式公式：
(24)
7 高斯曲率计算公式的Liouville记忆形式的发现推导过程
(25)
欲证(25)式成立，可以直接验证(25)式的右端与(16)式的形式一样，然而这没有指出(25)式本身是如何发现的。
将(20)式和(24)式的两端相加，得到
(26)
经过逐项求偏导数运算及化简，可得到
(27)
(28)
将(27)式和(28)式相加，得到
(29)
将(29)式代入(26)式，得(25)式成立。
8 常用参数坐标网下的高斯曲率绝妙定理的最终表示公式
在此参数坐标网的符号体系下，(14)式、(15)式和(25)式的形式分别为：
高斯绝妙定理的最终显式公式：
F(EuGv-EvGu-2EvFv+4FuFv-2FuGu)+
2(EG-F2)(Evv-2Fuv+Guu)]
(30)
高斯绝妙定理的Brioschi显式公式：
(31)
将(31)式展开，可得到(30)式。
高斯曲率计算的Liouville记忆形式：
(32)
其中，g=EG-F2。
高斯曲率的内蕴计算公式(30)式，可以作为标准形式检验其他形式，这里给出的证明过程并不复杂，便于查找引用。在文献[12]中，没能正确的写出(30)式，而是写出了一个错误公式，可以用正确的(30)式，给予更正。
[1] 梅向明,黄敬之.微分几何[M].4版.北京:高等教育出版社,2008.
[2] 陈维桓.微分几何[M].北京:北京大学出版社,2006.
[3] 彭家贵,陈卿.微分几何[M].北京:高等教育出版社,2002.
[4] 苏步青,华宣积,忻元龙.实用微分几何引论[M].北京:科学出版社,1986.
[5] 王幼宁,刘继志.微分几何讲义[M].北京:北京师范大学出版社,2003.
[6] 陈维桓.微分几何例题详解和习题汇编[M].北京:高等教育出版社,2010.
[7] 曾宪祖.高斯曲率的一个计算公式的证明[J].云南师范大学学报,1991,11(4):52-53.
[8] 谢琳,安扬.一个利用矩阵整体推导曲面结构方程的方法[J].辽宁师范大学学报:自然科学版,2007,30(3):262-264.
[9] 邢家省,高建全,罗秀华.曲面论基本方程的矩阵推导方法[J].吉首大学学报:自然科学版,2014,35(3):4-10.
[10] 邢家省,高建全,罗秀华.高斯曲率内蕴公式的几种形式的推导方法[J].四川理工学院学报:自然科学版,2014,27(4):82-89.
[11] 陈惠勇.高斯的内蕴微分几何与非欧几何[J].西北大学学报:自然科学版,2006,36(6):1028-1032.
[12] 华罗庚,王元.高等数学引论(第二册)[M].北京:科学出版社,2009.
Derivation Methods of Several Formulas of Gaussian Curvature Theorem Egregium
XINGJiasheng1a,1b,GAOJianquan2,LUOXiuhua2
(1a.School of Mathematics and Systems Science; 1b.LMIB of the Ministry of Education, Beihang University, Beijing 100191, China;2.Pingdingshan Institute of Education, Pingdingshan 467000, China)
In view of the formula expression problem of Gaussian curvature Theorem Egregium, the direct explicit formula expression of Theorem Egregium of Gaussian curvature is derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface. The proof procedure of Gaussian curvature implicit formula and the derivation of the calculation formula of Gaussian curvature in Liouville form are demonstrated.
fundamental equation of surface theory; Gaussian curvature; Gauss Theorem Egregium
2014-10-01
国家自然科学基金项目(11201020)；北京航空航天大学校级重大教改项目(201401)
邢家省(1964-)，男，河南泌阳人，副教授，博士，主要从事偏微分方程、微分几何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn
1673-1549(2015)03-0080-06
10.11863/j.suse.2015.03.17
O186.1
A
