无碰撞区跳频序列集的构造

许成谦，王嘉星

（燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛066004）

无碰撞区跳频序列集的构造

许成谦，王嘉星

（燕山大学信息科学与工程学院，河北秦皇岛066004）

无碰撞区跳频序列集能够有效减轻通信中的多径干扰，在准同步跳频通信系统中具有广阔的应用前景。提出了两种新的无碰撞区跳频序列集构造的方法，在这种构造方法中，序列的个数和无碰撞区的长度是可以灵活变动的。由这两种方法构造的无碰撞区跳频序列集的频隙个数、序列长度、序列个数、无碰撞区长度、汉明相关值等参数均达到了理论界，是最优的无碰撞区跳频序列集。

跳频序列；无碰撞区；汉明相关

0 引 言

跳频通信系统因其具有抗衰落能力、抗干扰能力强等诸多优点，已被广泛应用于军事通信领域，并且在民用移动通信领域，如：家庭射频和蓝牙中，也得到了广泛应用［12］。而跳频序列的设计问题是跳频通信系统中需要解决的问题之一。跳频序列设计要求构造出的跳频序列的长度要尽量长、序列个数尽可能多并且有较小的汉明相关值。汉明相关表示序列间互相碰撞的次数。为了尽量减少互相碰撞的干扰，一种新的跳频序列集——无碰撞区跳频序列集应运而生。

目前，国内外许多学者都在致力于研究性能良好、达到或接近于理论界的无碰撞区跳频序列集［313］，这一研究领域引起了人们的广泛兴趣。常见的构造方法一般就是基于代数理论和交织技术［14］。文献［3］是基于矩阵旋转构造无碰撞区跳频序列集，序列个数达到了理论界，但序列的汉明自相关在零相关区之外还有较多的碰撞。文献［9］是基于交织技术构造无碰撞区跳频序列集，但其所使用的移位序列存在移位等价关系，所以构造出的无碰撞区跳频序列也存在着移位等价关系，因此其序列之间的汉明互相关存在着很大的旁瓣值。本文所叙述的构造方法不但使序列个数满足理论界，并且使序列的汉明自相关和汉明互相关都尽量保持在较低水平，以降低通信中的干扰。

1 基本概念和性质

定义1设F＝｛0，1，…，q－1｝是一个包含q个频隙的频率集合，x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））分别为频率集F上长度为N的两个跳频序列，其中x（i），y（i）∈F，i＝0，1，…，N－1。跳频序列的周期汉明互相关函数的定义为

（i＋τ）mod N。若x＝y，称其为跳频序列x的汉明自相关函数，记为Hxx（τ）。

定义2设S是由频隙个数为q，序列长度为N的M个跳频序列组成的序列集。若跳频序列集S中任意序列x＝（x（0），x（1），…，x（N－1））和y＝（y（0），y（1），…，y（N－1））的周期汉明相关函数满足：

则称跳频序列集S为（N，M，q，Z）无碰撞区跳频序列集，简称N HZ跳频序列集，称Z为无碰撞区长度。

性质1［15］（N，M，q，Z）无碰撞区跳频序列集的参数满足：M≤。

2 构造方法

2.1 构造方法1

（1）从频隙集合F中任意选取M（Z＋1）个频隙。将它们排列成一个M×（Z＋1）的矩阵，记为A0＝］。

得到M－1个矩阵A1，A2，…，AM－1。

（3）以M个矩阵A0，A1，A2，…，AM－1为子块构成一个矩阵A＝［A0，A1，…，Am－1］，取A的每一行生成M个长度为M（Z＋1）的跳频序列。

定理1方法1构造出参数为（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳频序列集。

证明因为方法1中矩阵A＝［A0，A1，…，Am－1］是M行M（Z＋1）列的，所以方法1构造的跳频序列集频隙个数为M（Z＋1），序列个数为M，序列长度为M（Z＋1）。

下面证明序列集的无碰撞区长度为Z。对于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因为

由于初始矩阵A0中各元素均不相同，所以同一行中的不同列不会出现相同的元素，初始矩阵A0大小为M×（Z＋1），具有（Z＋1）列，那么相同元素再次出现时，与上一次出现时的间隔至少为Z，即在1≤τ≤Z范围内，j≠（j＋τ）mod（Z＋1），即

并且根据初始矩阵的排列规则可以看出，这两个位置之间的间隔在Z内，在这之间，元素总是不同的，则

那么Hxx（τ）＝0（1≤τ≤Z）。

对于任意

因为

初始矩阵A0中各元素均不相同，不同行中同列元素与不同行不同列元素均不会相同，初始矩阵A0大小为M×（Z＋1），则在不同行中，相同元素之间仍旧满足最小间隔为Z，即在0≤τ≤Z范围内，由于和是矩阵H中不同行的元素，所以j mod（Z＋1）≠（j＋τ）mod（Z＋1），因此（＋j）mod M，j）≠（（＋j）mod M，（j＋τ）mod（Z＋1）），同样从初始矩阵的排列可以看出，不同行中出现相同的元素之间的间隔至少为Z，则

故Hxy（τ）＝0（0≤τ≤Z）。

证毕

（2）取一个7×6阶矩阵

矩阵H中每一列元素由集合｛0，1，…，6｝中元素组成，且H中每行和每列没有相同的元素。采用变换

将矩阵A0变成

（3）以7个矩阵A0，A1，…，A6为子块构成一个矩阵A＝［A0，A1，…，A6］，即

A＝

取矩阵A的每一行构造出一个（14，7，14，1）NHZ跳频序列集，其包含的序列如下：

所构造出的跳频序列的汉明自相关和互相关函数在τ＝0，1，…，13时取值分别为

2.2 构造方法2

在白茫茫的冰原上，领头的雌鹿带领着浩浩荡荡的驯鹿队伍，排山倒海般走过。在人类看来，驯鹿大部队整齐地走过雪原，是自然界里的一道壮美的奇景。可对驯鹿来说，它们所走过的每一步都不会太轻松——从越冬区出发后，它们要避开重重险恶的道路，并且要在沿途狼群和熊的夹击下保护自己，还要寻找到能填饱肚子的食物：地衣、苔藓。雌性驯鹿的任务就更艰巨了，这些伟大的驯鹿妈妈，要在春季迁徙的途中生下宝宝，并辛苦地照料它们。

（1）从频隙集F中任意取M（Z＋1）个频隙，将它们排列成一个M×（Z＋1）的矩阵，记为U0。

（3）由U0得到M个新矩阵

（4）以M个矩阵U1，U2，…，UM为子块构成一个矩阵U＝［U1，U2，…，UM］，取U的每一行生成M个长度为M（Z＋1）的跳频序列。

定理2方法2构造出参数为（M（Z＋1），M，M（Z＋1），Z）的跳频序列集。

证明由方法2构造的跳频序列集频隙个数为M（Z＋1），序列个数为M，序列长度为M（Z＋1）。

下面证明序列集的无碰撞区长度为Z。

对于任意i＝1，2，…，M，1≤τ≤Z，因为

证毕

（1）从F中任取14个频隙，例如选｛0，1，…，13｝，将它们排成一个7×2的矩阵，记为U0：

（2）取长度为14的移位序列e＝（1，3，0，6，5，2，4，1，3，0，6，5，2，4）。

（3）采用变换

将矩阵U0变成

（4）以这7个矩阵U1，U2，…，U7为子块构成一个矩阵U＝［U1，U2，…，U7］。取矩阵U的每一行构造出一个（14，7，14，1）N HZ跳频序列集，其包含的序列如下：

所构造出的跳频序列的汉明自相关和互相关函数在τ＝0，1，…，13时取值分别为

3 性能分析比较

文中构造方法1与文献［6］中的构造方法均达到了理论界，文献［6］中构造的跳频序列的自相关性在无碰撞区外还有较多高峰值，而构造方法1可以将高峰值减少，因此构造方法1构造出的跳频序列的汉明自相关性要优于文献［6］。文献［9］中构造的跳频序列虽然达到了理论界，但是其构造出的跳频序列是其自身序列的移位序列，存在着移位等价的问题，在实际通信中并不能使用。本文两种构造方法均达到了理论界，并且通过理论证明，得到在无碰撞区内自相关性和互相关性均达到了理想值。

4 结束语

本文利用两种矩阵变换方法构造了最优无碰撞区跳频序列集，虽然都达到了理论界，但得到的序列长度均没有超过频隙个数，寻找能够构造出序列长度大于频隙个数的更长无碰撞区跳频序列集是进一步需要研究的内容。

［1］Zhou Z C，Tang X H.New classes of frequency-hopping sequences with optimal partial correlation［J］.IEEE Trans.on Information Theory，2012，58（1）：454- 455.

［2］Zeng Q，Li H，Peng D Y.Frequency-hopping based communication network with multi-level QoSs in smart grid：code design and performance analysis［J］.IEEE Trans.on Smart Grid，2012，3（4）：1841- 1852.

［3］Ye W X，Fan P Z.Construction of non-repeating frequencyhopping sequences with no-hit zone［J］.Electronics Letters，2006，42（8）：681- 682.

［4］Chung J H，Yang K.New frequency-hopping sequence sets with optimal average and good maximum Hamming correlations［J］.IET Communications，2012，6（13）：2048- 2053.

［5］Chung J H，Yang K.New classes of optimal low-hit-zone frequency-hopping sequence sets by Cartesian product［J］.IEEE Trans.on Information Theory，2013，59（1）：726- 732.

［6］Ye W X，Fan P Z.Construction of frequency hopping sequences with no hit zone［J］.Journal of Electronics（China），2007，24（3）：306- 307.

［7］Chung J H，Han Y K，Yang K.No-hit-zone frequency-hopping sequence sets with optimal hamming autocorrelation［J］.IEICE Trans.on Fundamentals，2010，E93-A（11）：2239- 2244.

［8］Sun G J.Interleaving technique-based construction of NHZ frequency hopping sequence set［J］.Study on Optical Communications，2012，173（5）：68- 69.（孙国杰.交织法构造无碰撞区跳频序列集［J］.光通信研究，2012，173（5）：68- 69.）

［9］Xu Z P，Shi M J.Construction of frequency-hopping sequences with no-hit zone［J］.Telecommunication Engineering，2007，47（6）：116- 118.（徐振平，石明军.一类无碰撞区跳频序列集的构造［J］.电讯技术，2007，47（6）：116- 118.）

［10］Chen H Y，Ke P H，Zhang S Y.Construction of optimal frequency hopping sequence sets with no-hit zone based on matrix permutation［J］.Journal of Computer Applications，2013，33（11）：3028- 3031.（陈浩源，柯品惠，张胜元.基于矩阵置换的最优无碰撞区跳频序列集的构造研究［J］.计算机应用，2013，33（11）：3028- 3031.）

［11］Ke P H，Chen H Y.Further construction of frequency hopping sequence sets with no-hit zone［J］.Journal of Beijing Universisity of Posts and Telecommunications，2014，37（2）：38- 42.（柯品惠，陈浩源.无碰撞区跳频序列集的进一步构造［J］.北京邮电大学学报，2014，37（2）：38--42.）

［12］Wu M，Xue G H，Pei S T，et al.A novel construction method of low／no-hit zone frequency hopping sequence set based on interleaving technique［J］.Telecommunication Engineering，2013，53（12）：1586- 1591.（邬蒙，薛国红，裴少婷，等.一种新的低／无碰撞区跳频序列集构造方法［J］.电讯技术，2013，53（12）：1586--1591.）

［13］Ye W X.Investigation of no hit zone FH sequences，quasi-synchronous and message-driven FH systems［D］.Chengdu：Southwest Jiaotong University，2011.（叶文霞.无碰撞区跳频序列与准同步／消息驱动跳频通信系统研究［D］.成都：西南交通大学，2011.）

［14］Niu X H，Peng D Y，Zhou Z C.New classes of optimal low hit zone frequency hopping sequences with new parameters by interleaving techinique［J］.IEICE Trans.on Fundametals of Electroincs，Communications and Computer Science，2012，E95-A（11）：1835--1842.

［15］Ye W X，Fan P Z.Tow classes of frequency hopping sequences with no-hit zone［C］∥Proc.of the 7th International Symposium on Communications Theory and Applications，2003：304--306.

许成谦（196-1- ），男，教授，博士研究生导师，主要研究方向为编码理论、通信理论、信号设计。

E-mail：cqxu＠ysu.edu.cn

王嘉星（198-8- ），女，硕士研究生，主要研究方向为信号设计、跳频通信。

E-mail：jx19882008＠163.com

Construction of frequency hopping sequence set with no hit zone

XU Cheng-qian，WANG Jia-xing
（School of Information Science&Engineering，Yanshan University，Qinhuangdao 066004，China）

Frequency hopping sequence set with zero collision zone can effectively reduce the multipath interference in the communication and it has extensive application prospect in the quasisynchronous frequency hopping communication system.Two methods of constructing the frequency hopping sequence set with no hit zone are proposed in which the number of sequences and the length of no hit zone can be flexibly changed.All of the parameters consisiting of the number of frequency slot，the length of sequences，the number of sequences，the length of zero collision zone and the hamming correlation values of the frequency hopping sequence set with no hit zone constructed by these methods have reached the theory bound，which result in the optimal frequency hopping sequence set.

frequency hopping sequence set；no hit zone；hanmming correlation

TN 911.2

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.28

1001-506X（2015）11-2606-05

2014- 09- 19；

2014- 10- 21；网络优先出版日期：2014- 10- 31。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20141031.1029.004.html

国家自然科学基金（61172094，61201263）；河北省自然科学基金（F2015203150）资助课题