由一道高考错题引发的思考

摘 要：数学课程标准提出数学学科特点具有应用性、灵活性、抽象性、准确性。说到准确性，要求学生计算过程要准确，计算结果要经得住检验。2013年全国高考数学理科试题（浙江卷）第15题，由于出题者和审题人的疏忽，导致出现了一个错题。究其原因可能是因为此题是一道填空题，出题人在编制题目时并没有对结果进行检验，从而导致在影响如此重大的考试中出现错题，值得数学老师认真反思。

关键词：准确性；检验；高考错题

下面就题目本身以及可能出现的问题加以说明。

设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（-1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB的中点，若FQ=2，则直线的斜率等于 .

给出的参考答案是k=±1，大致的解法有两种：

解法一：（点差法）

设直线l的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），由于点A，B都在抛物线上，故满足y12=4x1y22=4x2，两式相减得到（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2），所以y0= ，又点Q在直线l上，故可得x0= ，根据FQ= =2，解出k=±1.

解法二：（联立方程，代入法）

设直线l的方程为y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立方程y=k（x+1）y2=4x，消去y得k2x2+（2k2-4）x+k2=0，由韦达定理可得，x1+x2= ，于是x0= ，代入y=k（x+1），得到y0= ，根据FQ= =2，解出k=±1.

以上两种解法见于对浙江高考题的各种解读资料，初看没有任何问题，两种解法得到的结果都一样，但我们忽略了一个重要环节——检验。不难发现当k=1时，此时直线的方程为y=x+1，与抛物线联立消y后得到x2-2x+1=0，即x=1，也就是说直线与抛物线仅有一个公共点，即直线l与抛物线C相切，当k=-1时同理。这与题中所述直线与抛物线有两个交点A，B显然矛盾。综上所述，题目本身在设置上出现了重大错误。

同样的问题出现在了人教A版选修2-1习题2.3的B组第4题中，该题是这样叙述的：已知双曲线x2- =1，过点P（1，1）能否做一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？其中王后雄学案教材完全解读中给出的解法是：设直线l的方程为y-1=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），x12- =1x22- =1，两式相减得

（x1+x2）（x1-x2）= ，又中点P（1，1），所以得k=2，故存在直线l∶y=2x-1使得题目中的条件成立。

但我们在汲取了浙江高考题的失误教训后，会发现将所得直线代入双曲线方程，消y后可得2x2-4x+3=0，该二次方程的判别式？驻<0，也就是说直线与双曲线无交点，故不存在这样的直线使得题目中的条件成立。

通过以上两题，笔者认为不论我们在编制题目还是在解类似问题时，结果的检验很关键，应努力做到准确、严谨，尽信书不如无书。

作者简介：李林，男，硕士研究生，新疆阜康市第一中学，计算数学。

编辑 杨兆东endprint