求一元多项式的最大公因式

高东杰

摘要：文章研究一元多项式求最大公因式的方法，首先介绍了最常用的的传统方法，辗转相除法；然后介绍了矩阵法，就是利用多项式的系数矩阵的初等变换来求最大公因式。第二种方法借助数值例子来加以说明，最后对两种方法进行了比较。

关键词：一元多项式 辗转相除法 初等变换 最大公因式

求多项式的最大公因式是学习《高等代数》首先要面对的问题，要想让学生更好地掌握这一知识点，需要任课教师对此知识有更深入的研究，使知识更加系统化。所以本文系统研究了最大公因式的求法，旨在对教学和科研能有一些启发。

文章主要介绍了两种方法，一种是传统的辗转相除法，另一种是比较方便的矩阵法。这类研究经典结论比较多。对于《高等代数》来说，矩阵是它的精髓，但是一般教材第一章讲多项式，和矩阵没有关系，事实并非如此，比如求多项式的最大公因式依然可以转换为矩阵理论，也就是我们要介绍的矩阵法，这对于学生会有很大的启发。

一、辗转相除法

对于一元多项式的理论，我们都非常熟悉，一些基本的概念就不再一一赘述。下面我把辗转相除法的步骤总结如下：

1.开始：用次数低的多项式去除次数高的多项式；若次数相同，用系数小的多项式去除系数大的多项式。

2.过程：用左边的多项式除右边的多项式，然后右边的余式再除左边的除式。依次下去，这个过程非常形象地展现了辗转一词的含义。

3.结束：除到余式为0，结束。

4.结果：所求最大公因式d（x）=倒数第二个余式

利用教材上的例题可以体会一下上面的过程，在此就不再给出具体的数值例子。

二、矩阵法

再介绍矩阵法之前，我们需要先引入一些概念，设f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，我们提取多项式的系数，形成一个行矩阵，记为mf（x）=（an an-1 … a1 a0）。这样的话，多项式就可以用矩阵来代替，这和利用系数矩阵解线性方程组的思想是一样的。设g（x）=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，不妨设，m≤n若m

对上面的矩阵进行一些初等行变换和轮换变换就可以得到f（x）和g（x）的一个最大公因式所对应的矩阵，从而得到其一个最大公因式。

矩阵的初等行变换都非常熟悉，就不再一一介绍，下面我们利用一个非常简单的例子来介绍一下矩阵轮换的概念。

有了这些概念，我们给出利用矩阵法求最大公因式的步骤：

1.写矩阵：写出f（x）和g（x）所对应的矩阵为：

2.做初等行变换和平移变换：对上述矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵；然后做平移变换，交叉进行，直至变为如下矩阵

3.结果：所求最大公因式d（x）=cpxp+cp-1xp-1+…+c1x+c0.

下面我们给出一个例子，来体验这种方法。

例1 ： 求多项式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1的最大公因式。

解：f（x）和g（x）所对应的矩阵为：

对上述矩阵进行初等行变换和平移变换如下：

所以f（x）和g（x）的一个最大公因式为2x2-1。

矩阵法也适用于多个多项式求最大公因式，原理与两个多项式一样，我们把例1的多项式再增加一个，重新求一下最大公因式。

例2 ： 求多项式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1，h（x）=-6x2+3的最大公因式.

解：f（x），g（x）和h（x）所对应的矩阵为：

对上述矩阵进行初等行变换和平移变换如下：

所以f（x），g（x）和h（x）的一个最大公因式为2x2-1.

三、方法比较

文章介绍的这两种方法，第一种辗转相除法，是最传统的方法，缺点是计算较为复杂，计算多个多项式的最大公因式时更为麻烦，但是这是最经典的方法，是大家必须掌握的。其他方法都是以其为基础的。

第二种方法，相对计算较为简单，尤其计算多个多项式时，优势更加明显；另外这种方法更体现了矩阵在《高等代数》中的重要意义，但是这种方法，一般教材不讲，需要自己掌握方法步骤。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003.

[2]丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社，1987.

[4]韩建玲.多项式最大公因式的数值矩阵求法[J].宜春学院学报，2012（8）.

[5]蒋加清.最大公因式的一种新求法[J]. 邵阳学院学报，2011（2）.

（责编 金 东）