关于非自反空间类映射的拓扑度

2015-06-01吴柳婵陈晓玲

广东工业大学学报 2015年1期

吴柳婵,陈晓玲

(广东工业大学应用数学学院, 广东广州 510520)

吴柳婵,陈晓玲

(广东工业大学应用数学学院, 广东广州 510520)

拓扑度理论是研究非线性算子定性理论的有力工具，从它可推出许多著名的不动点理论．研究非线性方程解的问题在理论上和应用上都十分重要，但常用的解析工具(如压缩映射)处理非唯一(例如出现分歧现象)的解却无能为力．度理论的建立，为研究非线性方程多解问题提供了有力工具，它能导出非线性方程解的许多结果，还可推出许多著名的不动点定理．因此，拓扑度理论直接或间接地在物理、力学、微分方程等学科里获得了广泛的应用．

1 预备知识

为了讨论问题方便起见，本文出现的空间E均为实非自反Banach空间(没有特别说明的情况下)，E*为E的共轭空间，E**为E*的共轭空间，Ω⊂E**为非空有界开子集．

φ，T:ΩF→E*按范数拓扑连续，则称T为有限维连续．

弱*收敛于f0=Tx0．

(1) 存在Ttx:[0,1]×D→E*为有限维连续；

(2) 任取

弱*收敛于

弱*收敛于f0=Tt0x0．

弱*收敛于

则称T为广义伪单调映射．

对任意v∈F0都成立，其中d(·,·,·)为有限维空间连续映射的拓扑度．

(1)

(2)

证明设xτ∈E**，fτ=Txτ，gτ=φxτ，xτ弱*收敛于x0，满足

引理3[20]设E为实Banach空间，若E*可分，则E可分．

2 主要结论

则存在有限维F0⊂E**，使得任意有限维空间F⊃F0，均有θ*∉TFx，对任意x∈∂ΩF都成立．

令WF={任取x∈∂Ω，存在f=Tx，使得

对任意v∈F都成立}为有界集且WF≠φ

对任意v∈F，取F0，dimF0<+∞，使得

矛盾．故存在有限维F0⊂E**，使得任意有限维空间F⊃F0，均有θ*∉TFx，对任意x∈∂ΩF都成立．

对任意v∈F都成立}．则WF≠φ

是WF在[0,1]×E**的闭包．

使得tτ→t0，xτ弱*收敛于

由以上的命题，可定义

⊃F0，dimF<+∞，dimF0<+∞．

(2) 若Ω1，Ω2均是Ω的开子集，Ω=Ω1∪Ω2，Ω1∩Ω2=φ，则

证明 (1)和(2)的证明同有限维空间的性质[22]；

则

矛盾．

证明假设F为Hilbert空间，则F*=F．对于有限维空间

⊆

φ．

则存在N>0，使得0∉

⊆

对任意n>N，其中

弱*收敛于

矛盾．

任意v∈Fnk都成立．任取x∈Fnk，k=1,2,…，假设xτk弱*收敛于x0，同命题6的证明，有

弱*收敛于

对任意v∈Fnk矛盾．

证明令

由命题7知，存在N1>0，N2>0，当n>N1,N2时，有

(3)

(4)

结合式(3)和(4)，故

⊆

⊂E**非空有界开子集⊂E**的稠密子空间为的有限维空间序列⊆

满足Ω∩Fn≠φ，若

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