浅析带电粒子在匀强磁场中的运动问题

喻文思

带电粒子在匀强磁场中运动受洛伦兹力做匀速圆周运动，老师在课堂上分析很多，也做过很多这方面习题，但高考常常考，我们还是还很难下笔。带电粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动，根据这一特点该问题的解决方法一般为：一定圆心，二画轨迹，三用几何关系求半径，四根据圆心角和周期关系确定运动时间。其中圆心的确定最为关键，一般方法为：①已知入射方向和出射方向时，过入射点和出射点做垂直于速度方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心。②已知入射点位置及入射时速度方向和出射点的位置时，可以通过入射点做入射方向的垂线，连接入射点和出射点，做其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法

1.圆心的确定

因为洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2.半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：

①粒子速度的偏向角φ等于转过的圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3.粒子在磁场中运动时间的确定

若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式 ，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4.带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析

①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出;（θ、L和R见图标）

b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出;（y见所图标）

c、带电粒子在磁场中经历的时间由 得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角可由 求出;（θ、r和R见图标）

b、带电粒子在磁场中经历的时间由 得出。

二、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题

例1：（2011年湖南卷25.）（19分）如图，在区域I（0≤x≤d）和区域II（d≤x≤2d）内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一质量为m、带电荷量q（q>0）的粒子a于某时刻从y轴上的P点射入区域I，其速度方向沿x轴正向。已知a在离开区域I时，速度方向与x轴正方向的夹角为30°;因此，另一质量和电荷量a相同的粒子b也从p点沿x轴正向射入区域I，其速度大小是a的1/3。不计重力和两粒子之间的相互作用力。求

（1）粒子a射入区域I时速度的大小;

（2）当a离开区域II时，a、b两粒子的y坐标之差。

解：（1）设粒子a在I内做匀速圆周运动的圆心为C（在y轴上），半径为Ra1，粒子速率为va，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为 ，如图，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得①由几何关系得 ②    ③

式中， ，由①②③式得    ④

（2）设粒子a在II内做圆周运动的圆心为Oa，半径为 ，射出点为 （图中未画出轨迹）， 。由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得    ⑤

由①⑤式得    ⑥

、 和 三點共线，且由 ⑥式知 点必位于    ⑦ 的平面上。由对称性知， 点与 点纵坐标相同，即   ⑧  式中，h是C点的y坐标。

设b在I中运动的轨道半径为 ，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律得    ⑨

设a到达 点时，b位于 点，转过的角度为 。如果b没有飞出I，则

⑩

式中，t是a在区域II中运动的时间，而

由⑤⑨⑩○11○12○13式得

由①③⑨○14式可见，b没有飞出。 点的y坐标为

由①③⑧⑨  式及题给条件得，a、b两粒子的y坐标之差为

总结：带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题;磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字

三、带电粒子在有界磁场中及电场中运动类型的分析

例2：（2012年湖南卷25.）（18分）

如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为。现将磁场换为平等于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。

解：粒子在磁场中做圆周运动。设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得 ①

式中v为粒子在a点的速度。

过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点。由几何关系知，线段 和过a、b两点的轨迹圆弧的两条半径（未画出）围成一正方形。因此 ②

设 有几何关系得 ③    ④

联立②③④式得

再考虑粒子在电场中的运动。设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动。设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得qE=ma ⑥

粒子在电场方向和直线方向所走的距离均为r，有运动学公式得

⑦   r=vt  ⑧

式中t是粒子在电场中运动的时间。联立①⑤⑥⑦⑧式得 ⑨

总之找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。