圆锥曲线中的创新题赏析

王勇

随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革从知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致、具有创新意识和创新思维的新题.本文采撷圆锥曲线中的创新题并予以分类赏析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.

一、定义新的概念

例1  我们 把离心率为[e=5+12]的双曲线[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]称为黄金双曲线，如图.[A1，A2]是双曲线的实轴端点，[B1，B2]是虚轴的端点，[F1，F2]是焦点，过右焦点[F2]且垂直于[x]轴的直线交双曲线于[M，N]两点，给出以下几个说法：①双曲线[x2-2y25+1=1]是黄金双曲线;②若[b2=ac]（[c]是双曲线的半焦距），则该双曲线是黄金双曲线;③若[∠F1B1A2=90°]，则该双曲线是黄金双曲线;④若[∠MON=90°]，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的说法是（   ）

A. ①②④        B. ①②③

C. ②③④        D. ①②③④

解析  对于①，由双曲线[x2-2y25+1=1]可得，离心率[e=1+5+12=5+12]，故该双曲线是黄金双曲线.

对于②，[∵b2=ac，∴c2-a2-ac=0]，即[e2-e-1][=0]，又[e>1]，解得[e=5+12]，故該双曲线是黄金双曲线.

对于③，[∵∠F1B1A2=90°，][∴B1F12+B1A22][=F1A22，][∴b2+c2+b2+a2=a+c2]，即[b2=ac]. 由②可知，该双曲线是黄金双曲线.

对于④，[∵∠MON=90°]，[MN⊥x轴，][∴MF2=b2a]，且[△MOF2]是等腰直角三角形，[∴c=b2a]，即[b2=ac]，由②可知该双曲线是黄金双曲线.

综上所述，本题应选D.

点拨  本题是一道信息迁移题，阅读并领悟黄金双曲线的实质是解题的关键.本题要求考生在不同的情境下都能熟练求解双曲线的离心率.

二、约定新的运算

例2  设[x1，x2∈R]，定义运算“*”，[x1?x2=][x1+x22][-x1-x22]. 若[x≥0]，则动点[Px，x?aa>0]的轨迹是（   ）

A. 圆     B. 椭圆的一部分

C. 双曲线的一部分     D. 抛物线的一部分

解析  [∵x1?x2=x1+x22-x1-x22，]

[∴x?a=x+a2-x-a2=2ax]，则[Px，2ax].

设[Px1，y1]，即[x1=x，y1=2ax，]消去[x]得，

[y21=4ax1x1≥0，y1≥0].

故点[P]的轨迹为抛物线的一部分，选D.

点拨  本题在新运算的背景下探求动点的轨迹问题，理解新运算的法则是求解的关键，此类题型是高考命题者惯用的拟题手法，平时应加强训练，增强适应性.

三、调配新的组合

例3  已知点[F（-c，0）（c>0）]是双曲线[E：x2a2-y2b2=1]的左焦点，双曲线[E]的离心率为[e]，过[F]且平行于双曲线[E]的渐近线的直线与圆[x2+y2=c2]交于点[P]，且点[P]在抛物线[y2=4cx]上，则[e2]=（   ）

A. [5]   B. [5+32]

C. [5+22] D. [5+12]

解析  如图，设抛物线[y2=4cx]的准线为[l]，作[PQ⊥l]于[Q]，双曲线[E]的右焦点为[F]，由题意可知，[FF]为圆[x2+y2=c2]的直径.

不妨设[P（xp，yp）]在第一象限，由[y2=4cx，x2+y2=c2]解得，[xp=（5-2）c]，所以[|PQ|=xp+c=（5-1）c].

易知[PF⊥PF]，直线[PF]的方程为[y=ba（x+c）]，即[bx-ay+bc=0]，于是点[F（c，0）]到直线[PF]的距离[|PF|=2bca2+b2=2b].

由抛物线的定义可知，[|PF|=|PQ|.][∴2b=（5-1）c]，[∴a2+（5-12c）2=c2]，解得[e2=c2a2=5+12]，故选D.

点拨  本题将直线、圆、双曲线、抛物线组合在一起考查，令人耳目一新，是命题者智慧的结晶. 其中的“招法”可谓是“刀光剑影”，是出活题、考能力的成功之作，占据着“小题压轴”的重要地位.

四、设置新的交汇

例4  在等腰梯形[ABCD]中，[E，F]分别是底边[AB，CD]的中点，把四边形[AEFD]沿直线[EF]折起后所在的平面记为[α，P∈α].设[PB，PC与α]所成的角分别为[θ1，θ2]（[θ1，θ2]均不为零）.若[θ1=θ2]，则点[P]的轨迹为（   ）

A. 直线       B. 圆

C. 椭圆       D. 抛物线

解析  如图，设[B，C]在平面[α]内的射影分别为[M，N]，连接[PM，BM，CN，PN，MN].

根据直线与平面所成角的意义，

[∠BPM=θ1，∠CPN=θ2，又θ1=θ2，]

[∴tanθ1=tanθ2]，即[BMPM=CNPN?PMPN=BMCN].

又[BM⊥平面α，CN⊥平面α]，[∴BM//CN]，

又[BE//CF]，[∴∠MBE=∠NCF].

又[∠BME=∠CNF=90°]，

[∴ΔBME∽ΔCNF，∴BMCN=BECF，∴PMPN=BECF.]

在梯形[EBCF]中，[BE≠CF]，

[∴BECF]是不等于1的常数，

[∴PMPN]是不等于1的常数.

由于在平面内到两定点的距离之比等于不为1的常数的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆），所以点[P]的轨迹为圆.故选B.

点拨  本题主要考查空间直线与平面所成的角的概念与求解、动点的轨迹等问题，是立体几何与解析几何的交汇综合题. 其中还涉及到三角知识、平面几何知识的灵活应用，最后用课本中一道经典例题的结论（阿波罗尼斯圆）“一剑封喉”.

五、建模新的应用

例5  某同學设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中[AC，BD]是过抛物线[Γ]的焦点[F0，1]的两条弦，且[AC?BD=0]，点[E]为[y]轴上一点，记[∠EFA=α]，其中[α]为锐角.如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，则[α=]          .

解析  由抛物线[Γ]的焦点[F0，1]得，抛物线[Γ]的方程为[x2=4y].

设[AF=m]，则点[A-msinα，mcosα+1]，

[∴-msinα2=4mcosα+1]，

即[m2sin2α-4mcosα-4=0]，

解得[m=AF=2cosα+1sin2α].

同理，[BF=21-sinαcos2α，DF=21+sinαcos2α，]

[CF=21-cosαsin2α].

所以“蝴蝶形图案”的面积[S=SΔAFB+SΔCFD]

[=12AF?BF+12CF?DF][=41-sinαcosαsinαcosα2.]

令[t=sinαcosα，t∈0，12]，所以[1t∈2，+∞]，则[S=41-tt2=41t-122-1]，所以当[1t=2]，即[α=π4]时，“蝴蝶形图案”的面积最小，最小值为8.

点拨  本题是一道解析几何模型的应用题，难易适中，韵味十足，“蝴蝶形图案”给人以美的享受.