电场磁场真神奇粒子运动显奇迹

华峰

在学习电磁学知识的过程中，如果我们对有关粒子在磁场中运动轨迹问题进行探究，会看到带电粒子运动轨迹的图形多姿多彩，千姿百态，既有趣更奇妙.下面我们一起探究一下，同学们如果有兴趣的话，进行进一步的探究也许会发现更有趣、更奇妙的图形呢？

一、心心相连形

图1

例1以ab为界面的两匀强磁场B1=2B2，方向如图1所示.现有一质量为m、带电量为q的负粒子，从O点沿图示方向进入B1中，画出此粒子的轨迹，并求经多长时间该粒子重新回到O点.

图2

解析粒子进入B1后，在洛仑兹力作用下将做匀速圆周运动，运动半径r=

mvqB.所以在B1和在B2中的半径之比R1R2=12，故其运动轨迹如图2所示，如同心心相连，令人感叹.

所用时间为t=T1+T22=2πmqB1+2πmqB2×12=4πmqB1.

图3

例2如图3所示，在边界上方和下方分别有垂直纸面向里和向外的匀强磁场，上方磁场强度为2B，下方磁场强度为B，试分析粒子运动情况，求出粒子第九次通过边界的时间及距P点的距离.

图4

解析粒子从P点出发在洛仑兹力作用下做圆周运动，向左偏转，经历半个圆周而进入下方磁场向右偏转，再经历半个圆周返回到P点，按照相同的方式继续运动，九次后的轨迹如图4所示.观察粒子的运动轨迹如同四颗心紧密地连在一起，让人惊奇.

带电粒子在上方磁场中的运动半径r1=mv2qB，运动周期T1=2πm2qB=πmqB；在下方磁场中的运动半径r2=mvqB，运动周期T2 =2πmqB.易得d=3r1=3mv2qB，所用时间为t=52T1+2T2=13πm2qB.

图5

例3如图5所示，虚线AB右侧是磁感应强度为2B的匀强磁场，左侧是磁感应强度为B的匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面向里.现有一带正电的粒子自图中O处以初速度v开始向右运动，求从开始时刻到第十次通过AB线向右运动的时间内，该粒子在AB方向的平均速度.

图6

解析如图6所示，带电粒子从O点出发，受到洛仑兹力作用做圆周运动，经过半个周期后，穿过AB边界向左飞出，受到大小为原来一半的洛仑兹力作用，做半径为原来两倍的圆周运动，同样经过半个周期，穿过AB边界向右飞出，就这样不断地来回穿过AB边界，形成如图6所示的心心相连的奇妙轨迹，使人心旷神怡.

带电粒子在磁场中只受洛仑兹力作用，在边界AB右侧做圆周运动，运动半径为r1=mv2qB，运动周期T1=2πm2qB=πmqB；在边界AB左侧做圆周运动，运动半径r2=mvqB，运动周期T2=2πmqB.

如图6所示，当带电粒子第十次通过AB边界向右运动时，在AB边上的位置为y=10r1=5mvqB，所用时间为t=5（T1+T2）=5（πmqB+2πmqB）=15πmqB.则所求的平均速度为v=yt=v3π.

二、拱门形

例4如图7所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向匀强电场，场强为E.一质量为m、电量为- q的粒子从坐标原点O沿y轴正方向射出，射出之后，第三次到x轴时，它与O点的距离为L.求此粒子射出时的速度v和运动的总路程s（不计重力）.

图7图8

解析带电粒子从O点沿着y轴方向射出，先做圆周运动，在x轴上方完成半圆周后，穿过x轴进入x轴下方，受电场力作用做匀减速直线运动，速度减至零，然后又沿原路做匀加速直线运动，直到第二次穿越x轴.两次穿越x轴的速度大小相等，进入磁场后x轴上方第二次完成半圆周后，垂直于x轴第三次穿过x轴，进入x轴下方电场区域，粒子运动轨迹如图8所示，多像喜事连连使用的拱门的啊！

根据题意有：L=4R ①

设粒子初速度为v，因洛仑兹力充当向心力，则有：

Bqv=mv2R ②

联立①、②可解得： v=qBL4m

粒子在磁场中经过的路程由图可知：s1=2πR=πL2.

设粒子在电场中经过的路程为d，则由动能定理有

qEd=12mv20-0，由此可得d=mv202qE=qB2L22（16mE），则粒子在电场中来回经过的路程s2=2d=qB2L216mE.

所以粒子运动的总路程s=s1+s2=s=12πL+qB2L216mE.

例5如图9所示的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于纸面向里，质量为m、电量为q的微粒在磁场中由静止开始下落，空气阻力不计，求微粒下落的最大高度和最大速度.

图9图10

解析由于微粒初速度为零，可以分解为沿水平方向大小相等、方向相反的两个速度v1和v2，v1向右、v2向左，其中使v1引起的洛仑兹力f1与mg平衡，则微粒将在v1方向做匀速直线运动，另一分速度v2产生的洛仑兹力将使粒子在垂直于B的平面内做匀速圆周运动，这两个分运动互不影响，所以粒子的运动可以看成逆时针的匀速圆周运动和水平向右的匀速直线运动的合成，运动轨迹如图10所示，这多么像一个倒立的拱门哟！

微粒下落的最大高度等于圆的直径，则有qv1B=mg，R=mv2qB，v1=v2，所以

v1=mgqB，R=m2gq2B2.故微粒下落的最大高度为dm=2R=2m2gq2B2.

微粒的合速度等于两个分速度的矢量合成，微粒在最低点时，v1与v2同向有最大速度，即微粒运动的最大速度为vm=v1+v2=2πmqB.

三、滚轮形

例6空间中存在着足够长宽且正交的电磁场，其中磁场是不随时间变化的匀强磁场，磁感应强度为B.电场是随时间变化的，变化情况如图11所示.在t=0时，沿垂直电磁场方向射入一带电粒子，粒子恰好做匀速直线运动，而当以后又加上电场时，粒子仍沿原入射的方向做直线运动.已知带电粒子的电量为q，质量为m（不计重力）.试求电场变化的时间间隔T必须满足什么条件，才会出现上述情况？

图11图12

解析要使粒子在加上电场时仍能沿原来的方向运动，则要求在没有电场的时间间隔内，粒子在匀强磁场中至少完成一次圆周运动，其运动轨迹应如图12所示.这就好似一个在平直的公路上滚动的车辆一样，真是太奇特了.

因而有T=n2πmqB（n=1， 2， 3， …），即T是带电粒子在磁场中做匀速圆周运动周期的整数倍.

四、星形

例7如图13所示，在半径为R的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，M、N、P三点均匀分布在圆周上.有三对电压相等、相距为d的平行金属板，分别在这三点与圆相切，而且在相切处极板留有缝隙.一个质量为m、电量为q的带正电粒子，从Q点由静止开始运动，经过一段时间后，恰好又回到Q点（不计重力）.

图13图14

（1） 画出粒子运动的轨迹，并标出三对金属板的正负极；并分析平行金属板间的电压U 与磁感应强度的大小B应满足什么关系？

（2） 粒子从Q出发又回到Q点，需要多长时间？

解析如图14所示，带电粒子在Q点受到电场力的作用，做匀加速直线运动，经N点飞入磁场，受到洛仑兹力作用，做圆周运动，经过16周期后穿过P点，在电场力作用下，做匀减速直线运动，到极板时速度恰好为零.然后类似前述运动，从P点飞出后飞入M点，又从M点飞出后飞入N点，然后又回到Q点，这样重复运动，其运动轨迹形如三角星星，形状完美对称，令人称奇.

（1） 粒子运动的轨迹与三对金属板的正负极如图14所示.

设粒子进入磁场时速度大小为v，运动半径为r，则根据动能定理有：qU=12mv2.

M、N、P三点均匀分布在圆周上，每一段圆弧所对圆心角为120°，则由几何知识可知：r=3R.

根据牛顿第二定律有：qvB=mv2r.

联立以上三式可解得：U=3qR2B22m.

（2） 粒子在磁场中做圆周运动的周期T=2πmqB，经过三段圆弧所用时间为：t1=3×16T=πmqB.

设粒子从Q点出发到达磁场所用时间为T′，则有：d=12×qEm×T′2=qUT′22md.

将U=3qR2B22m带入上式，可得：T′=23md3qBR.

粒子在三对平行金属板间经历的时间为：t2=6T′=43mdqBR，所以粒子从Q点出发又回到Q点所需时间为：t=t1+t2=πmqB+43mdqBR.

例8如图15所示，半径为R的绝缘圆筒内为一匀强磁场区，磁感应强度方向垂直纸面向里，有一质量为m、电量为q的带正电粒子，以速度v0射入圆筒内，射入时速度方向与筒的直径AB重合.若粒子与圆筒碰撞3次，又从孔飞出，那么匀强磁场的磁感应强度B为多少？粒子在磁场中经历了多少时间？（设重力不计，碰撞时无能量损失，且不计碰撞时间）

图15图16

解析粒子进入速度方向与该点切线方向垂直，则射出点也一定与射出点的边界垂直，即带电粒子每次与圆筒碰撞都与筒壁垂直，因此每两次碰撞之间的运动轨迹相同.由以上分析可以画出带电粒子在磁场中的运动轨迹如图16所示.看上去多像一颗美丽耀眼的星星啊！

由圆周运动知识有Bqv0=

mv20r，而r=R，则B=mv0qR，t=T=2πRv0.

例9如图17所示，在一半径为R的圆筒内，有一个以垂直于匀强磁场及质量为m、带电量为q的带正电的粒子，从A点正对着圆心O以速度v射入，要使带电粒子与圆筒内壁几次碰撞后恰能从A点射出，并且只绕圆筒内壁一圈，求磁感应强度B的大小.设粒子与圆筒内壁碰撞时没有能量和电量损失，粒子的重力忽略不计.

图17图18图19

解析如图18所示，带电粒子从A孔射入，受到洛仑兹力作用做圆周运动，与圆筒内壁碰撞后反弹，再做圆周运动，再碰撞反弹，以此往复.不同磁感应强度使带电粒子会跟圆筒内壁碰撞两次以上，再从A孔射出，会形成多种多样完美对称的图形，如同多角星一样美丽！

设带电粒子经过n次与圆筒内壁碰撞后仍回到从A点射出，而仅绕圆筒内壁转一周，如图18所示，则相邻两次碰撞所对的圆心角：θ=2πn+1（n=2， 3， …）.

若粒子经过n次与圆筒内壁碰撞后仍从A点射出，但绕圆筒内壁转k周，如图19所示.则相邻两次碰撞所对的圆心角：θ=2kπn+1

（其中k=2， 3， …；n=2， 3， …）.（图19所示为k = 2的情形）

由几何关系可知，粒子运动的半径为：

r=Rtanθ2=Rtan（kπn+1）

又知Bqv=mv2r.

由以上两式可求得：B=mvqRcot（kπn+1）（其中k=2， 3， …；n=2， 3， …）.

五、梅花形

例10如图20所示，正三角形ACD是用绝缘材料制成的固定框架，边长为L，在框架外是范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，可视为磁场的理想内边界.在框架内有一对带电的平行极板M、N，M板的中点K处有一粒子源，能够产生初速度为零、质量为m、电量为q的带正电的粒子，粒子重力不计.带电粒子经两极板间的电场加速后从CD边的中心小孔S垂直于CD边射入磁场.若这些粒子与框架的碰撞为弹性碰撞，且每一次碰撞时速度方向均垂直于被碰的框架，不计碰撞时间.要使粒子在最短时间内回到小孔S，求：

（1） 粒子做圆周运动的轨道半径，并画出粒子在磁场中的运动轨迹和绕行方向；

（2） 两极板M、N间的电压；

（3） 粒子回到小孔S的最短时间.

解析（1） 粒子在磁场中做匀速圆周运动，与边框垂直碰撞后要重新回到S，由几何关系可知，A、C、D三点必为圆轨道的圆心.要使粒子回到S的时间最短，圆轨道半径为：R=12L，轨迹如图21所示.

图20图21

（2）粒子经电场加速，根据动能定理有：

qU=12mv2.

粒子在磁场中运动，根据牛顿第二定律有：

qvB=mv2r.

联立以上三式可解得：U=qB2L28m.

（3） 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为：

T=2πmqB，

粒子回到S的最短时间为：t=3×56T=5πmqB.

例11如图22所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r0，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的匀强磁场，磁感强度的大小为B.在两极板间加上电压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为m、带电量为+q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的s点出发，初速度为零.如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点s，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）

图22图23

解析带电粒子从s出发，在两圆筒间的电场力作用下加速，沿径向穿出a而进入磁场区，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动.粒子再回到s点的条件是能沿径向穿过狭缝d，只要穿过了狭缝d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子将以同样的方式经过b、c，再经过a回到点s，如图23所示.观察粒子的轨迹那不就如同一朵盛开的梅花吗？

设粒子射入磁场区的速度为v，根据能量守恒有：12mv2=qU.设粒子在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动的半径是R，则由洛仑兹力公式和牛顿第二定律可得：mv2R=qBv.

由前面分析可知，要回到s点，粒子从a点到d点必须经过34圆周，所以半径R必等于筒的外半径r0，即R=r0.由以上各式可解得：U=qr20B22m.

六、针锥形

例12如图24所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场，左侧匀强电场的场强大小为E，方向水平向右，其宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感强度大小为B，方向垂直纸面向外；右侧匀强磁场的磁感强度大小也为B，方向垂直纸面向里.一个带正电的粒子（质量为m、电量为q，不计重力）从电场左边缘a点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后又回到了a点，然后重复上述运动过程.求：

（1）中间磁场区域的宽度d；

（2）带电粒子从a点开始运动到第一次回到a点时所用的时间t.

图24图25

解析（1）电场中加速，由动能定理得：

qEL=12mv2，∴v=2qELm.

磁场中偏转，由牛顿第二定律得：

qvB=mv2r，∴r=mvqB=1B2mELq.

由此可见，在两磁场区粒子运动半径相同，如图25所示，形似针锥.三段圆弧的圆心组成了三角形.

△O1O2O3是等边三角形，其边长为2r，

∴d=rsin60°=12B6mELq.

（2）电场中，t1=2va=2mvqE=22mLqE；

中间磁场中，t2=2×T6=2πm3qB；

右侧磁场中，t3=5T6=5πm3qB；

则t=t1+t2+t3=22mLqE+7πm3qB.

七、蜗牛形

图26

例13在如图26所示的匀强磁场中，放置一块与磁感线平行的均匀薄铅板，一个带电粒子进入匀强磁场，以半径R1=20 cm做匀速圆周运动，第一次垂直穿过铅板后，以半径R2=19 cm做匀速圆周运动，带电粒子还能穿过铅板几次？（设每次穿越铅板的过程中阻力大小及粒子电量不变）

解析根据R=mvqB=pqB=2mEkqB，得Ek=（qBR）22m.

带电粒子每次穿越铅板克服阻力做功，减少的机械能为：

ΔE=Ek1-Ek2=q2B2R212m-q2B2R222m=q2B22m（R21-R22）

带电粒子还能穿过铅板的次数为：

N=Ek2ΔE=

q2B2R22mq2B2（R11-R22）2m=R22R21-R22

=192202-192=9.26.

根据题意应取N=9，粒子运动轨迹如图26所示，酷似蜗牛的俯视图，真是不可思议啊！

八、水滴形

例14如图27所示，空间分布着有理想边界的匀强磁场，左侧区域宽度为d，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外.右侧区域宽度足够大，匀强磁场的磁感应强度大小也为B，方向垂直纸面向里.一个带正电的粒子（质量为m、电量为q，重力不计）从左边缘a点，以垂直于边界的速度进入左区域磁场，经过右区域磁场后，又回到a点出来.

（1） 画出粒子在磁场中的运动轨迹；

（2） 求粒子在磁场中运动的速率v.

（3） 粒子在磁场中运动的时间t.

图27图28

解析如图28所示，带电粒子从a点飞入磁场，受到洛仑兹力做圆周运动，穿过磁场边界后进入右边区域，受到等大反向洛仑兹力作用做圆周运动，穿过磁场边界回到左边区域.带电粒子受到等大反向洛仑兹力作用继续做圆周运动回到a点，形成如同水滴形状完美的对称图形，令人诧异.

（1） 运动轨迹如图28所示.

（2） 设粒子运动的速率为v，则粒子做圆周运动的半径r=mvqB.

图29如图29所示，根据三角形的比例关系可得：

（2r）2=r2+（2d）2

联立以上两式可求得：

v=23qBd3m

（3）如图29所示，可得sinθ=r2r=12，所以θ=π6.

带电粒子在边界左边的时间

t1=2×

π2-θ2πT1=13T1

粒子在边界右边的时间

t1=2π-2θ2πT2=56T2

由于左、右磁场区域磁感应强度相等，则T1=T2=2πmqB，故粒子在磁场中运动的时间t=t1+t2=7πm3qB.

例15如图30所示，一个质量为m、电量为q的带正电粒子从P点由静止开始经过加速电场后，从正中央垂直射入偏转电场.加速电场电压为U，极板间距离为d；偏转电场电压为u2，极板长度和极板间距离都为L.u2的变化规律如图31所示，带电粒子离开偏转电场后即进入一个垂直纸面向里的匀强电场.欲使带电粒子从t=0开始经过时间T又回到P点.求：

（1） 匀强电场的宽度至少为多少？

（2） 粒子P点开始运动到第一次回到P点所用的时间是多少？

图30图31

解析带电粒子的运动轨迹如图32所示.

图32

设粒子离开加速电场时速度为v0，所用时间为t1，则根据动能定理有：qU=12mv20，

∴v0=2qUm，

t1=2dv0=d2mqU.

带电粒子在偏转电场中做类似平抛运动，离开电场时速度为v，所用时间为t2，侧移量为y，则有：

t2=Lv0=Lm2qU，

y=12at22=12×qUmL×L2m2qU=14L.

根据动能定理有：

qU+q×qUL×y=12mv2，∴v=5qU2m.

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设运动半径为R，运动时间为t3，则由图29可知：

sinθ=v0v=

255，又y=Rsinθ，∴R=58L.

t3=2（π-θ）2π×2πRv=14（π-arccot2）LmqU

故匀强磁场的宽度至少为：

D=R+Rcosθ=5+18L.

粒子第一次回到P点所用时间为：

t=2t1+2t2+t3

=（22d+2L+π-arccot24L）mqU

以上几种有趣的粒子运动轨迹图形，目的在于考查带电粒子在电场和磁场中的受力及运动.即考查了物理知识应用能力，也考查了几何知识与物理知识的结合，同时也增加了物理知识的妙趣.

（收稿日期：2014-09-04）