几何概型的高考命题视角探究

2015-05-30王恒亮李一淳

中学生理科应试 2015年1期

王恒亮李一淳

几何概型是高中数学新增的内容之一，是对古典概型的进一步发展，也是中学数学知识的一个重要交汇点.它已逐渐成为多项内容的媒介，特别是在近年高考题和高考模拟题中时常出现这类问题，它要求学生知识面广、解题灵活性强.这类题型通常与平面几何、解析几何，立体几何、函数与方程、不等式等内容相结合.

笔者根据教学实际，就该问题在高考中的命题视角进行粗浅的探讨，现与大家分享.

一、几何概型与平面几何的结合

几何概型与平面几何相结合，往往考查平面几何中的线段长度、面积、角度的计算，若能根据题目中的有效信息，抓住关键“比”，这类问题将不难解决.

例1（2012湖北）如图1，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）.

A.12-1π B. 1π C.1-2π D.2π

图1图2图3

解析不妨设扇形的半径为2a，由图2知S阴影=S2+S4，为了求出S阴影也即是S2和S4，对图2作分割如图3，则S2=S2′+S2″.显然S2′=S2″，且S2′=S2″=14πa2-12a2，

故S2=S2′+S2″=12πa2-a2，则S4=S扇形OAB-[（S3+S2+S1+S2）-S2]=14π（2a）2-[πa2-（12πa2-a2）]=12πa2-a2，即S阴影=S2+S4=πa2-2a2.

由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=

S阴影S扇形OAB=πa2-2a2πa2=1-2π

.故选C.

评注本题考查几何概型的应用以及观察推

5.解（1）设“第一次实验时取到i只新白鼠”为事件Ai（i=1，2）

P（A1）=C14C14C28=47

P（A2）=C24C28=314

设“从8只小白鼠中任意取2只小白鼠，恰好取到一只新白鼠”为事件B.

则“第一次实验时至少取到一只新白鼠，第二次实验时恰好取到一只新白鼠”就是事件A1B+A2B，而事件A1B、A2B互斥，所以P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）.由条件概率公式，得

P（A1B）=P（A1）P（B|A1）

=47×C13C15C28=47×1528=1549.

P（A2B）=P（A2）P（B|A2）=314×C12C16C28

=314×37=998.

所以，第一次实验时至少取到一只新白鼠，第二次实验时恰好取到一只新白鼠的概率为

P（A1B+A2B）=P（A1B）+P（A2B）=1549+998=3998.

（2）法一：

设A=“在第一次实验时至少取到一只新白鼠”， C=“第二次实验时恰好取到一只新白鼠”

则P（A）=P（A1）+P（A2）=1114，

P（AC）=P（A1B）+P（A2B）=1549+998=3998

故P（C|A）=3998÷1114=3977

法二：设A=“第一次实验时至少取到一只新白鼠”， C=“第二次实验时恰好取到一只新白鼠”

P（C|A）=n（AC）n（A）=C14C14C13C15+C24C12C16（C14C14+C24）C28=3977.

（收稿日期：2014-10-12）

理的能力.P（A）=SASΩ中，区域A，Ω一目了然，SΩ也很容易计算，本题难在如何求解阴影部分的面积，巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解SA是本题的关键，这点需要平时的积累.

例2（2012北京）设不等式组0≤x≤20≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） .

A.π4 B.π-22 C.π6 D.4-π4

图4解析0≤x≤20≤y≤2表示的区域如图4正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

P=2×2-14π·222×2=4-π4.故选D.

评注本题考查几何概型的应用以及转化能力，其关键点是将题目给的不等式组转化成坐标平面内明确的区域，即P（A）=SASΩ中的区域Ω.

例3（2009福建）点A为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B，则劣弧AB的长度小于1的概率为 .

图5

解析如图5设AB=1，根据几何概率可知其整体事件是其周长3，则其概率是23.

评注此题考查的几何概型的测度是一维的长度.P（A）=SASΩ中，Ω显然是圆的周长，而A在求解时就要考虑全面. 事实上，圆周上满足要求的弧长为2个单位，粗心的学生在此还是容易犯错误.从平面几何视角呈现几何概型问题是近年高考中考查的热点，出现频率非常高，从公式P（A）=SASΩ来说，解决此类问题的关键点有：深刻理解几何概型的概念，准确确定Ω和A；灵活运用平面几何知识，正确求解SA，SΩ.

二、几何概型与解析几何的结合

例4（2011湖南）已知圆C：x2+y2=12，l：4x+3y=25.

（1）略

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为 .

解析易知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即点A在l1∶4x+3y=15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3，

故所求概率为P=π32π=16.

评注将解析几何中直线与圆的位置关系判断与几何概型相结合，不仅把两个不同模块的知识交汇到一起，而且这种在交汇点设计的试题注重内容的联系性和知识的综合性，既能增加知识考查点，又能从学科整体的高度考虑问题，可谓视角独特、回味无穷.

例5（2012珠海摸底考试改编）在区间[1，5]和[2，4]内分别取一个数记为m，n，则方程

x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆的概率为.

图6

解析记“方程x2m2+y2n2=1表示焦点在x轴上的椭圆” 为事件A，如图6在直角坐标平面内坐标（m，n）表示的点落在面积为mn的矩形区域内，事件A发生即对应的点落在如图6所示的阴影区域内，不难得到P（A）=12（1+3）×24×2=12.

评注本题的关键是把解析几何问题转化为测度为面积的几何概型，样本空间Ω转化为坐标平面内的矩形区域，A事件转化为直线y=x的下方与样本空间Ω的公共部分，这一系列的转化也是本题的难点，也有效地考查了知识的交汇融合.

三、几何概型与立体几何的结合

例6（广东省重点中学2009届高三毕业考试高考模拟）正棱锥S-ABC的底面边长为4，高为3，在正棱锥内任取一点P，使得VP-ABC≤12VS-ABC的概率是（）.

A.34 B.78 C.12 D. 14

解析不难判断当点P位于正棱锥S-ABC的中截面时，刚好使得VP-ABC=12

VS-ABC，故答案为B.

评注几何概型与立体几何的结合，往往涉及到空间中的点面距离、体积计算等相关知识点，可使几何概型中的测度从平面的长度、面积、拓展到空间中的体积，是值得关注的一个变化方向.本题考查了几何概型与立体几何的结合，使问题的综合性得到进一步的加强，体现了数学命题的灵活性.

四、几何概型与不等式的交汇

例7（2012辽宁）在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现做一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为（）.

A.16 B.13 C.23 D. 45

解析设线段AC的长为x cm，则线段CB的长为（12-x）cm，那么矩形的面积为x（12-x）cm2，由x（12-x）>20，解得2

评注此题体现了几何概型与一元二次不等式的结合，虽然题目谈到了面积，但实际是一个长度型几何概型.P（A）=SASΩ中判断Ω={x|020}是解决问题的关键.题目短小精悍，考查灵活机变.

例8（2011年复旦千分考）在半径为1的圆周上随机取三点，它们能构成一个锐角三角形的概率是.

图7图8

解析如图7，设A，B，C是半径为1的圆周上的任意三点，弧AB，弧AC，弧BC的长度分别为x，y，2π-x-y，得试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|x，y，2π-x-y∈（0，2π）}.如图8所示，设事件T表示三点A，B，C是一个锐角三角形的三个顶点，它构成的区域为T={（x，y）|x，y，2π-x-y∈（0，π）}.故P（T）=STSΩ=14.

评注本题体现了几何概型与线性规划的完美结合.它将看似与线性规划不相关问题巧妙地转化成线性规划问题.

五、几何概型与三角函数的交汇

例9（2009山东）在区间[-1，1]上随机取一个数x，cosπx2的值介于0到12之间的概率为（）.

A.13 B.2π C.12 D. 23

解析在区间[-1，1]上随机取一个数x，即x∈[-1，1]时，要使cosπx2的值介于0到12之间，需使-π2≤πx2≤-π3或π3≤πx2≤π2，∴-1≤x≤-23或23≤x≤1，区间长度为23，

由几何概型知cosπx2的值介于0到12之间的概率为232=13.

故选A.

评注本题考查了三角函数的值域和几何概型知识点，不仅把两个不同模块的内容交汇到一起，而且将问题思维情境作出质的改变，真正体现了知识之间的交融.

六、几何概型与函数方程的交汇

例10（2012届安徽模拟）关于x的方程x2-2（a-2）x-b2+16=0，若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程没有实根的概率.

解析试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，其面积为S（Ω）=16，设“方程无实根”为事

件B，则构成事件B的区域为B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）2+b2<16}，