提高学生解题能力的一种锻炼方法

徐瑾

致力于培养全体学生合乎逻辑的主动的积极向上的思维能力是高中数学课堂教学的重要目的之一，也是教师本着“学生为主体”的思想，提高课堂的整体教学質量，发展全体学生智能的重要手段。

直觉猜想是创造性思维的一种形式，是用已掌握的知识作为基础，沟通具体事物和抽象思维，从而揭示问题的本质，使“直观感觉”向“抽象思维”跃进，找到解题路径。所谓直觉猜想是指：在解决问题时，根据题目的条件、结论、类型，人凭借直观感觉而产生的一系列想法，如：该问题能否用这种方法解决？该问题与我解过的某问题很相似，能否用解决那个问题的方法来解决？该问题属于某种类型的问题，能否用其基本性质或特定解法来解决？……

在日常教学活动中，按其培养锻炼学生目的或教学目的的不同可以分为三类：

①多向性猜想（一题多解）；

②沟通性猜想（等价转化思想）；

③多题同解的猜想。

下面通过一些具体实例加以说明。

①多向性猜想

要培养学生直觉思维能力，教师应具备敏捷的思维、全面的知识、丰富的经验，本身不满足于一条解题思路，善于鼓励学生从各个方面、各个角度大胆猜想，开拓思路，促使学生将知识真正学活。教师长期坚持不懈的进行这种训练，可使学生提高解题能力，从而进一步提高自身分析问题、解决问题的能力，真正适应社会发展的需要。

例1、如图：椭圆 + =1（ ）的切线与两坐标轴交于A、B两点，求△OAB面积的最小值。

分析1：

此题属于最值问题，而我们熟悉的最值问题中二次函数的最值是最常见问题，能否用二次函数的最值加以解决？

解：设切点P（x0，y0），由椭圆的对称性不妨设x0，y0 R+，

则切线方程为 ，

故A（ ，0），B（0， ），

S△OAB= = ※

由于点P在椭圆上则有： ，得：y0=

代入※式得到：S△OAB=

令 =t （0

则欲使S△OAB最小，只要 最大，即 最大。

设f（t）= （0

分析2：

该问题能否用求函数最值的其它方法解？如：特殊不等式。

解：由分析1：S△OAB= = 且 ，

欲使S△OAB最小，只要 最大

由： ≤ ，

得： ≤ɑb（当且仅当 时取等号），

所以：S△OAB≥ɑb。

分析3：

此题能否用三角函数的有界性解？

解：设 （θ∈（0， ）），

S△OAB= = ，（当且仅当 时取等号）。

分析4：

此题是直线与椭圆位置关系问题（直线为动直线），能否用直线的斜率作为参数来解？

解：设∠OAB=θ，直线的斜率为：k=tg（π-θ）

切线AB方程为：y= ，

即：S△OAB= ，下略。

通过该问题的解决，可以使学生对数学问题具有较全面细致的了解，同时对已学过的基本解题方法进一步加深认识，从而开拓了学生的视野，对分析解决问题能力的提高也是一种难得的锻炼。

②沟通性猜想

沟通性猜想是从已知事物联想另一未知事物的心理过程，该猜想具备桥梁作用，它能把许多形式相似，内容相近的问题互相沟通：数与形的转化、函数与方程的转化……都是很好的例子。

例2：已知△ABC中，求证：对任意实数m，不等式：msinA+（1-m）sinB>m（1-m）sinC恒成立。

分析：若从三角函数入手，此题很难处理，但仔细观察不等式，实际上它是关于m的二次不等式。

解：原式等价于：m2sinC+m（sinA-sinB-sinC）+sinB>0对任意m恒成立。

设f（m）=m2sinC+m（sinA-sinB-sinC）+sinB ※，

由△ABC知：A、B、C∈（0，π），且A+B+C=π

所以：sinC>0；sinB>0；sinA>0；sinA+sinB>sinC；sinA+sinC>sinB；sinB+sinC>sinA

Δ=（sinA-sinB-sinC）2-4sinBsinC

=（sinA-sinB）2-2sinC（sinA-sinB）+（sinC）2-4sinBsinC

=（sinA-sinB）2+sinC[-2（sinA-sinB）+sinC-4sinB]

=（sinA-sinB）2+sinC[sinC-2（sinA+sinB）]

<（sinA-sinB）2+sinC（sinC-2sinC）

=（sinA-sinB）2-（sinC）2

=（sinA-sinB+simC）（sinA-sinB-simC）<0

③多题同解的猜想

数学问题千变万化，但万变不离其宗：基本概念、基本方法。教师要想帮助学生脱离“题海”，要想减轻学生负担，要想提高教学质量，就必须在讲解数学中的基本概念、基本方法、基本性质、基本公式时善于将知识在深度和广度上加以拓展，深入挖掘，举一反三，触类旁通。特别是在复习阶段更要运用类比的方法，对具有相同特征的题形或尽管属性不同，但可互相转化的问题加以系统归纳、整理，从而培养学生的直观思维能力，提高分析问题，解决问题的能力。

如代数中的系列问题：

⑴、若A、B为锐角，且（1+tgA）（1+tgB）=2，求证：A+B=450；

⑵、求证：tg200+tg400+ tg200tg400=

⑶、求证：tg3 -tg2 -tg =tg3 ·tg2 ·tg ；

⑷、在△ABC中，求证：tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC

⑸、在△ABC中，求证：tg ·tg +tg ·tg +tg ·tg =1；

⑹、设xy+yz+zx=1，求证：

上述问题从表面上看各不相同，但它们具备共同的特征：使用公式：tg（A+B）= ，或者其变形式加以解决，形成了典型的多题同解现象。

总之，直觉猜想对学生解题能力的提高，学习习惯的养成，学习兴趣的提升都有十分重要的意义。教师应善于鼓励学生进行科学的大胆猜想，努力提升学生发现问题，分析问题，解决问题的能力，从而提高教学质量，提升学生的数学素养，实现“素质教育”的远大目标。