复数领域的发现

2015-05-30鲍祥平

俪人·教师版 2015年11期

鲍祥平

【摘要】随着现代科学技术的日新月异，往往有些东西需要我们反复的探讨研究重新去发现他的价值及正确性。如多维复数是否存在，复数的运算法则怎么来的，复变函数导数的几何意义是什么，又如复数指数函数是怎么回事，特别是其定义很抽象很难懂，所以有必要给出一个形象直观的描述。

【关键词】复数的四则运算连续，光滑，可导，可微导数的几何意义复数的复数指数函数复数E 多维复数

㈠预备知识：

（N维）复数包含两部分：一个是模，另一个是复角信息；复数包含两个层面：一个是”数值”层面，一个是数字层面。我们把只关系到”数值”层面的表达式a+bi称为向量表达式；而数字层面关系到模及所有复角，其表达式为指数表达式或三角表达式ea+bi，a（cosα+isinα）。Z=x（cosα+isinβ）.复数的四则运算与向量法则有关，与i无关，但i在一般情况下可做替代运算。复数的加法一般用向量法则进行，但有时为了需要我们必须分析它的复角在加法中的变化。下面给出一种带复角的复数加法运算：ex[cos（α+2kπ+2nπ）+isin（α+2kπ+2nπ）]+ey[cos（β+2nπ）+isin（β+2nπ）]=ex+i2nπ[cos（α+2kπ）+isin（α+2kπ）]+ey+i2nπ[cos（β）+isin（β）]=ez[cos（γ+2kπ+2nπ）+isin（γ+2kπ+2nπ）]，x，y，z为实数。加数无论复角有多大，真正起作用的是”运算主值”面的角（0--2π），与加数所含有的周期数无关；得数与被加数含有的周期数一致，再加上主值里面的角度因加数而产生的变化。被加数称为原始量，加数被称为影响因子，得数称为相对于原始量的改变量，加法运算时原始量逆向旋转，角度增大，减法顺时针旋转，角度减小。函数也分为数值式和数字式，数值式只考虑复角0到2π，至于数字式这里不做介绍。之所以做这样的规定是为复数的乘法定律做铺垫，为复变函数的研究，比如复数的复数指数形式的研究提供据依据。

乘法定律：我们把这样一类求复数的倍数或者求等分或者求旋转一个角度的复数加减法的组合形式的特殊运算叫复数的乘法或者除法；见《论三维复数的存在性》。

㈡复变函数光滑可导的定义

如果一元函数在其定义域里每点导数连续我们称其连续光滑。如果f（x，y）在定义域里兩个偏导数（或者方向导数）存在且连续我们称f（x，y）是连续光滑的。（有导数不存在点时，函数也有可能是连续光滑的）

复变函数光滑可导的定义：复变函数f（z）=u+vi自变量以任意方向（光滑路径）趋近定义域里的某一点时，那么复变函数FZ趋向相应点的充分小的邻域里的路径也是光滑的，都近似直线或是直线，则称其在该点是光滑的，如果复变函数在该点偏导数dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）称复变函数在该点光滑可导，如果在复变函数有定义的区域里每一点都是光滑的，且偏导数dx（u），dy（v），dx（v），dy（u）存在且dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）则称复变函在该定义域数光滑可导。

㈢复变函数导数的几何意义

下图只画了一个曲面的其中一条空间曲线，方向导数等于dz/（dx?+dy?）?。随着ae与X轴的夹角的变化，其方向导数也在不断变化。方向导数和偏导数的关系：dz/（dx?+dy?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+△y?）?=[dx（z）+dy（z）]/（△x?+[f′（x）△x]?）?=△x[fx（z）+fy（z）f′（x）]÷|△x|[1+|f′（x）|]?。

三维图形切线方向导数如下图：

u，v的方向导数存在且连续dx（u）=dy（v），dx（v）=-dy（u）那么f′（z）的复角为定值。f（z）可导导数复角必为定值。

虚拟定义：我们建立如下坐标系：把Z的复平面当做X轴，F（z）所处的复平面当做Y轴建立坐标系，称复数四维空间虚拟简化坐标系。复变函数F（z）的导数Fˊ（z）表示在四维空间里复变函数的图形上的“切线的斜率”。我们把形如F（z）=z1×z称为线性复函数。必须用复数的眼光来看待复变函数随复数自变量的变化规律，没有真实的四维图形，我们看四维空间的图形，其实是看的那种规律。

复变函数导数分析：选定一点z0，当z趋近z0时F（z）趋近F（z0），z充分趋近z0时，z，F（z）以辐射的（近似）直线分别光滑趋近z0，F（z0），如（图一）。这时|Fˊ（z）|等于F（z）在F（z0）点的改变量的模|F（z）-F（z0）|相对于Z在Z0点的改变量的模|z-z0|的比值，或模变化率。它相当于Z在z0点以α+δ=β的α角度变化时F（z）的模的变化量[|F（z）|-|F（z0）|]相对于Z的改变量的模|z-z0|的比值。|Fˊ（z）|cosδ等于当Z在z0点以角度α=β变化时F（z）的模的变化量[|F（z）|-|F（z0）|]相对于Z的改变量的模|z-z0|的比值，或轴向变化率。|Fˊ（z）|sinδi等于当z在z0点以角度α=β变化时F（z）在F（z0）点绕（0，0）点做旋转的圆周速度。F'（z）复角δ表示dF（z）在F（z0）点的变化方向与Z在Z0点的变化方向的角度之差。他随着z以角度α趋近z0时的呈现“保角性”，（令α=x+2kπ）argF'（z）+α叫做z以角度α趋近z0时dF（z）在F（z0）的变化方位角，如果F（z）在z0的函数值F（z0）的复角为β，（β=xˊ+2kπ）那么argF'（z）+α-β为dF（z）在F（z0）点的变化方位角与F（z0）点的复角之差，称 dF（z）相对于F（z0）的相对变化角。γ为z0复角，γ在范围[2Nπ，2（N+1）π]里变化，β在另一个范围[2Kπ，2（K+1）π]里变化）。

下面提供一个从自变量复平面上其中一条路径分析复变函数图

㈣复数的复数指数函数

由于复数的复数指数函数本身没有实际意义，针对这个问题我们可以建立复数的复数指数函数与复数的一种对应，以满足复数运算的需要，赋予它一种抽象的意义，从而阐明它存在的价值。

定义：如果z0z有意义，那么其取值在复数域里，我们把f（z）=z0z=e（x+yi）（a+bi）称为复数的复数指数函数一般表达式，并且和复数有着唯一的一一对应关系，求导法则和实数域里一样。

下面来说明这种对应的存在性和唯一性，以及求导性质。

存在性：首先从特殊形式分析，我们先假定F（z）=ez=ex+yi，令F（z）=ez=ex+yi有意义，那么其值必定在复数域里，假设ez=Z1=a1+b1i，存在F（z）=ez=ex+yi满足指数函数的运算性质，F（Z1）F（Z2）=F（Z1+Z2）=ez1+z2=ez1ez2，那么ex+yi可以唯一展开成exeyi这种形式的两部分之积（一部分只含有x的项，另一部分只含有yi的项），那么就应该有Z1=f（x）f（yi）=ex+yi=exeyi我们知道复数Z1=a1+b1i可以变形为ex1（cosy1+isiny1）且ex1=（a1?+b1?）?，cosy1=a1/（a1?+b1?）?，siny1=b1/（a1?+b1?）?。那么x1与y1是不是我们所求的ex+yi中的x与y呢？下面令F（z）=ex（cosy+isiny），F（z）=ez=ex+yi我们只需证明它们有连续的N阶导数且相等，那么它们的泰勒级数展开式相同了，故而一定是同一函数，因此x1与y1是我们所求的ex+yi中的x与y。dx[ex（cosy+isiny）]/dx=ex（cosy+isiny），dyi[ex（cosy+isiny）]/dyi=ex（cosy/dyi+isiny/dyi）=ex（cosy+isiny），另外dxex+yi=eyiex=ex+yi=ex（cosy+isiny），dyiex+yi=exdyieyi=exeyi（e△yi-1）/△yi由假设F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）所以（e△yi-1）/△yi=[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=1（分子分母同趋于零，所以上下同时求导得1，或者利用等价无穷小也得一）所以exeyi（e△yi-1）/△yi=ex+yi[（cos△y+isin△y）-1]/△yi=ex+yi=ex（cosy+isiny）。（注意：以前ex+yi与ex（cosy+isiny）的关系是通过ex+yi对y求导然后分析其泰勒级数展开式得来的，实际上F（z）=ez=ex+yi对y求导没关系，yi是一个整体，在求导过程中一般没必要单独只对y求导）。用同样的方法可以证明 d（x+yi）[ex（cosy+isiny）]/d（x+yi）=ex（cosy+isiny）=ex+yi=dx+yiex+iy/d（x+yi）。

d（x+yi）ex+yi=ex+yi﹙e△（x+yi）-1）/△x+yi=ex+yi﹙e△xe△yi-1）/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi△（x+yi）/△（x+yi）=ex+yi

dx+yi[ex（cosy+isiny）]/dx+yi=﹛ex+△x[cos（y+△y）+isin（y+△y]-ex（cosy+isiny）﹜/△（x+yi）=ex+yi（e△xcos△y+e△xisin△y-1）/△（x+yi）=ex+yi=ex（cosy+isiny）（e△x∝1+△x，cos△y∝1-?△y?，sin△y∝△y）因此ex+yi与ex（cosy+isiny）N阶连续偏导数存在且分别相等，那么它们的泰勒级数展开式相同了，因此是同一函数。证明了它们是同一函数之后还需分析其四则运算的一致性，因为它们同时也代表一个具体的数，但这点很直观，容易证明，（证明略）存在性得证。

至于Z1=a1+b1i=ex1（cosy1+isiny1）其它形式的变形，要么就是ex1（cosy1+isiny1）的等价变换最终化简还是ex1（cosy1+isiny1）这种形式；要么就是其它类型的函数，那么与ex1（cosy1+isiny1）是不同函数，则与F（z）=ez=ex+yi也是不同的函数，所以对应无法建立。唯一性得证。

通过前面预备知识复数有两个层面，当用数字层面运用到复数的指数形式或对数形式时，就不会有多值的问题，分析问题会相对简洁。

对于一般形式z1x+yi由于可能不可导（除F（z）=ez=ex+yi外）所以按同樣的方法做对应不成立，所以唯一可以把z1x+yi变形为e（x+yi）（a+bi）的形式去求出对应关系。所以这种对应关系是唯一的一一对应关系。

复变函数F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）他们之间相互关系可以用实变函数F（y）=x×x=x?加以比较。ez=ex+yi描述ex（cosy+isiny）是怎么得来的；x×x描述x?怎么得来的。

F（z）=ez=ex+yi=ex（cosy+isiny）

F（y）=x×x = x?

复数领域的E=（1+△x+△iy）1/△x+△iy=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy（1+△x+△iy与e（△x+△iy）是等价无穷小）

对[e（△x+△iy）]1/△x+△iy取对数

ln[e（△x+△iy）]1/△x+△iy

=1/（△x+△iy）ln[e（△x+△iy）]

=（△x+△iy）/（△x+△iy）=1

则（1+△x+△iy）1/△x+△iy

=[e（△x+△iy）]1/△x+△iy=e