导数的应用

周江霖

【摘要】导数在经济学中应用很广泛，本文从经济学中的边际定义出发，探讨了导数这一概念的具体应用，使读者体会微积分在经济中的应用价值。

【关键词】导数 边际 边际分析

考虑经济问题时，成本、价格、利润、收入等经济量是必须要考虑的因素，一个企业最关心的问题是如何把握最佳产量，从而获利最高，在经济学中这些问题常用边际概念进行分析，这些概念都可用导数进行描述，本文讨论导数在这些经济问题中的应用。

一、“边际”概念

如果一个经济指标y是另一个经济指标x的函数y=f（x），那么当自变量在x处有一个单位的改动量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x处的边际量。设x的改变量为 ，经济变量y的改变量为 ，则y的平均变化率是 ，有边际的概念，在上式中取 或者 就可得到边际量的表达式。在经济理论研究中，总是用导数 表示经济变量y的边际量。

二、边际成本

厂家生产Q件产品的成本分C（Q）为两部分，一部分是“固定成本C0”，例如场地、固定设备、基本人员工资等。一部分是“可变成本C1（Q）”，与生产数量密切相关，例如消耗的材质、能源、计件工资等，成本函数为C（Q）= C0+ C1（Q）

例 某企业生产一种产品，固定成本为900元，每做Q件产品的可变成本为400Q-Q2元，求成本函数，并分别计算Q=10，20，30时的平均成本，和边际成本。

解：平均成本函数记为 ， 元/件， 元/件， 元/件。可见当生产不同数量产品时，平均成本并不相同。生产10件 产品时的成本是4800元，平均成本是480元。如果再多生产一件，即 ，总成本是多少？很容易计算 元。这时总成本增加量 元，这个成本增量成为“边际成本”，它既不等于 元/件，又不等于 元/件。此时计算 。 元/件。和前面的结果很接近。在实际经济量化分析问题中，经常将产量为Q时的边际成本 和此时已花费的平均成本 做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，上面例子中， ，说明可以增加产量。反之，如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本；当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低。

三、边际收入和边际利润

在经济学中，类似的可以定义边际收入和边际利润，在价格P水平上销售Q件商品所得款项称为“收入”，即 ，边际收入记为 。利润函数为 ，边际利润记为 。

例 某企业生产家用电器，设成本函数为 ，需求函数为 ，求收入函数和边际收入，并分别计算 件时的成本、平均成本、收入和边际收入。

解 ， ， ，知 是唯一驻点， 元是最大利润。

注意，最大利润和最大平均利润不是一回事。本例中，可求出平均利润的最大值点是 ，平均利润的最大值为每件产品获利2.7元；但此时总利润仅为7168元 元。而 件时，平均利润为每件 元/件 元/件。在经济学中还经常用到边际效用、边际产量、边际劳动生产率等概率，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再累赘。

以上是本人关于导数在经济中边际分析，由此可见导数在經济学中应用广泛，通过边际问题的分析，对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用！

【参考文献】

[1]向隆万 数学赏析 上海交通大学出版社 2012年4月

[2]王兰林 导数在经济学中的应用 河南财政税务高等专科学校学报 2011年12月

[3]谢金云 导数在经济学利润最大化中的运用 湖南学院学报 2011年10月