估算思想在中考数学解题中的应用

孙军

《数学课程标准》在九年制义务教育阶段的三个学段目标中，都有这样的要求：“掌握必要的运算 （包括估算） 技能”，可见估算能力的培养应该给予足够的重视。使估算能帮助我们解决一些实际问题，发挥它应有的作用。

估算是对事物的整体把握，是对事物的数量及数量之间关系的直觉判断。学习估算的意义在于：第一，有实际价值。因为生活中的一些数据不需要精确计算，如上街买菜带的钱数、上学时何时从家里出发等并不需要精确计算；第二，培养良好的数感。估算和数的认识、量的计算、空间观念相配合，有助于学生加深对概念的理解，增强灵活处理日常数量关系的能力；第三，用于对计算结果的检验；第四，估算可以帮助我们解决一些数学问题。

近年来，各地中考试题对估算都给予了高度的重视。下面通过具体的几个例子，体验估算在数学解题中的作用。

例1.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是

S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是（ ）

（A） S1 > S2 （B） S1 = S2 （C） S1

分析：本题中，对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，它们的面积相等且都等于正方形的面积的一半，若正方形面積为S，则△ABC与△ADC面积都是 。这里的S1面积是△ABC面积的 ，即等于 ；在对角线的另一侧S2等于△AEF和△CHG两个三角形的和，另外还有△DEH，则有S2< ，这就说明S1>S2。因而我们选择A。

例2。根据图中信息，经过估算，下列数值与 的值最接近的是 （ ）

A、0。3640 B、0。8970 C、0。4590 D、2。1785

分析：由于直角三角形中 等于对边与邻边的比值，通过观察图形， ∠ 的边并不经过某一格点，我们可以估计∠ 的正切值应满足：

因此，本题应选择C。解答本题并不需要精确计算。

例3.根据下列表格中二次函数 的自变量 与函数值 的对应值，判断方程 （ 为常数）的一个解 的范围是（ ）

A. B. C. D.

分析：因为0介于正数与负数之间， 二次函数 的值为0，也应介于函数值是正数与负数之间，函数值为0所对应的自变量的值（即一元二次方程 的一个解），应介于函数值分别是正数和负数所对应的自变量值之间。因为当x=6。18时，y=-0。01，当x=6。19时，y=0。02，所以一元二次方程的一个近似解x应符合6。18

例4.今年，苏州市政府的一项实事工程就是由政府投人1 000万元资金.对城区4万户家庭的老式水龙头和13升抽水马桶进行免费改造.某社区为配合政府完成该项工作，对社区内1200户家庭中的120户进行了随机抽样调查，并汇总成下表：

（1）试估计该社区需要对水龙头、马桶进行改造的家庭共有_____户；

（2）改造后.一只水龙头一年大约可节省5吨水，一只马桶一年大约可节省15吨水.试估计该社区一年共可节约多少吨自来水？

（3）在抽样的120户家庭中.既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有多少户。

分析：样本估计总体是统计的重要思想方法，本题就是要用样本数据的特征估计总体数据的特征。由样本数据估计：需要改造的户数约占总户数的 ，所以该社区1200户家庭中约有1000户家庭需要改造。

先计算被调查的120户家庭可以节水：

（31×1+28×2+21×3+12×4）×5+（69×1+2×2）×15=2085，

再计算该社区中1200户家庭共能节水 ×2085=20850（吨）

在抽样的120户家庭中.既要改造水龙头又要改造马桶的家庭共有：

（31+28+21+12+69+2）-（120-20）=63（户）。

估算不仅是一种技能，也是一种重要的思想方法，更主要的是一种良好的意识和习惯。估算包含有猜测的成分，但猜测不是估算的全部。估算者在头脑中要不断地将被估算的事物与已有的数学模型或经验相类比，不断地尝试和修正，直到两者出现平衡相容。类比活动的顺利与否，和估算者头脑中积累的数学模型清晰与否、活动经验的丰富与否有关。因此我们要勇于实践，通过剪、拼、量、折、画、实验等活动，建立清晰的数学模型，使估算有清晰的可类比标准。

正因为估算是介于推理和猜想之间的心理活动，所以，估算过程和方法是不确定的，估算者可以有自己的想法。如果能与同学交流各自的估算策略，比较各自的估算结果，展示各自创造性的想法，相互借鉴，则能更好地提高估算能力，增强估算意识。

培养数学估算意识，应该主动地从数学的角度、数字的眼光去观察世界、体验生活，在实际运用中感受估算的乐趣，并切身体验用估算解决问题的实用性和便捷性，凸现估算应用的价值。从而使数学估算意识扎根在我们的日常生活之中。那样的数学将会更加丰富多彩，数学学习活动也将是无处不在。