基于高等数学若干知识点的探讨

陈茜

[摘 要]教学授课是一个非常灵活的过程。教师在讲授课本知识的基础上，应该在课堂中根据教学目标、教学对象、课堂气氛等的需求，及时引入、总结或纠正一些教学知识点，会使得教学课堂更丰富、教学对象更受益、教学效果更良好。应用二重积分的对称性，对数学题目可以大大简化计算过程，提高解题效率。

[关键词]极限 导数 积分 对称性

[中图分类号] O13[文献标识码] A[文章编号] 2095-3437（2015）12-0120-02

教学授课是一个非常灵活的过程。如果教师在讲授课本知识的基础上，能够在课堂中根据教学目标、教学对象、课堂气氛等的需求，及时引入、总结或纠正一些教学知识点。那么会使得教学课堂更丰富、教学对象更受益、教学效果更良好。基于课堂教学的感受，我们讨论了高等数学教学中的几个知识点。

一、函数极限教学内容顺序的适当调整

同济版高等数学中极限概念的教学是从数列极限开始的。

由于数列中自变量只能取正整数这一种情况，所以数列的极限只讨论n趋于正无穷时数列收敛的情况。但对于广义上的函数来说，自变量x在一维数轴上运动时，除了x可趋于正无穷外，还有x→-∞，x→∞，x→a，x→a-，x→a+这五种方式。那么学习数列极限的基础上，再引入函数极限时，可以首先引入x→+∞时函数的极限。原因在于：两者的自变量都在趋于正无穷，只要将数列自变量取离散正整数的状态推广为连续状态下的正实数就过渡到了函数的极限;在“ε”语言中，只要将n∈N+改写为x∈X。

这样的引入有助于学生理解数列作为函数的特殊性，可以加强学生对数列和函数极限的区别和联系，巩固了数列和函数极限的概念，又便于函数更进一步的引入x→-∞，x→∞的情况。同时对于进一步在x→a，x→a-，x→a+下的函数极限讲解就显得水到渠成了。但在同济版高等数学教材中引入函数极限是从x→a开始的，随后才是x→∞。这样就将数列和函数在无穷下的极限联系断开，不利于极限概念的深入理解和巩固，同时对x→a函数极限的学习就显得难上加难了。

二、分段函数求导的误区

在讲解函数求导这个知识点时，发现绝大部分学生遇到分段函数求导数的题目，其方法是直接求导，究其原因是高中数学教学所导致。由于在高等数学教学中所遇到的分段函数并非“完美函数”，即在分段点处不一定可导。。

在课堂教学中对分段函数的求导，我们一般可以采用最基本的方法：在定义的开区间内直接求导;对分段点处利用导数的定义：求分段点处的左、右导数并根据导数存在的充要条件来判断分段点处的情况。

这样可以让学生从知识点上理解导数定义，同时注意让学生理清极限、连续与导数之间的关系;从方法上要求学生从繁到简，在基础功扎实的前提下再利用导数单侧极限定理，快速有效的解题。

三、有理函数积分的常见类型

有理函数的积分过程比较繁琐，一道题目的积分除了分成部分分式之和以外，还需要根据被积函数的特点选择不同的积分方法，具有极大的灵活性。根据课堂教学的经验，我们给出有理函数几种常见的积分类型，讨论它们被积函数的特点，并粗略的概括它们的积分方法。以下讨论的被积函数均是真分式的情况。

1.如果分母Q（x）可以分解因式，通常采用裂项法把被积函数裂成部分分式之和。再分别求积分即可。

我们只是笼统地叙述了三种常见积分的求解过程。现在我们用一道例题给出具体的演算过程。

四、重积分对称性的引入

利用区间的对称性和函数的奇偶性做积分题，可以大大提高做题效率，简化做题过程。这在定积分中已有结论。对于二重积分例外。我们可以把积分的对称性总结为：奇函数在对称区间或者区域上的积分为零，偶函数在对称区间或者区域上的积分等于一半区间或者一半区域上积分的两倍.二重积分的对称性可以简单记为“你对称，我奇偶”。比如：若积分区域关于y轴对称，就把被积函数f（x，y）看作x的一元函数，y看作常量。如果f（x，y）是x的奇函数，二重积分就为零。

如果应用二重积分的对称性，这三道题目可以大大简化计算过程，提高做题效率。但在课本中几乎没有涉及二重积分的对称性的这个知识点，所以在课堂教学时如果能够给同学适当的添加这个知识点，并给出几个具体的题目做一做，讲一讲，总结一下，我想这不但丰富了同学的积分知识，又可为考研这样的大型考试添砖加瓦。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 同济大学数学系编.《高等数学》（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 刘玉琏，付沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3] 黃先开，曹显兵，施明存，等.全国硕士研究生入学统一考试历届试题理工数学一[M].北京：世界图书出版社，2004.

[4] 郝海龙.考研数学复习大全（历年统考真题分类训练）（第一版）[M].北京：北京航空航天大学出版社，2014.

[责任编辑：王 品]