分类讨论思想精读

刘斌

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备（即分类对象彼此交集为空集，并集为全集）.做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.

由数学概念、性质、运算引起的分类讨论

（1）由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类. （2）运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以实数[a]，三角函数的定义域，去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

例1 当[x∈[-2，1]]时，不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立，则实数[a]的取值范围是（ ）

A.[-5，-3] B. [[-6，-98]]

C.[-6，-2] D.[-4，-3]

解析 （1）当[-2≤x<0]时，不等式可转化为[a≤][x2-4x-3x3]，

令[f（x）=x2-4x-3x3（-2≤x<0）]，

则[f（x）=][-x2+8x+9x4]=[-（x-9）（x+1）x4]，

故函数[f（x）]在[-2，-1]上单调递减，在（-1，0）上单调递增.

此时有[a≤fmin（x）=f（-1）=][1+4-3-1]=-2.

（2）当[x=0]时，不等式恒成立.

（3）当[0

令[g（x）=x2-4x-3x3（0

则[g′（x）=-x2+8x+9x4].

故函数[g（x）]在（0，1]上单调递增，此时有[a≥gmax（x）=g（1）=1-4-31]=-6.

综上，[-6≤a≤-2].

答案 C

由图形位置或形状引起的讨论

求解有关几何图形问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论.一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化.

例2 已知变量[x，y]满足的不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数[k]等于（ ）

A.-[12] B. [12]

C.0 D.-[12]或0

解析 不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的可行域如图（阴影部分）所示.

由图可知若不等式组[x≥0，y≥2x，kx-y+1≥0]表示的平面区域是直角三角形，只有直线[y=kx+1]与直线[x=0]垂直（如图①）或直线[y=kx+1]与直线[y=2x]垂直（如图②）时，平面区域才是直角三角形.

[① ②]

由图形可知，斜率[k]的值为0或-[12].

答案 D

由参数引起的分类讨论

一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论. 此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要适当地运用数形结合思想，分类要做到标准明确，不重不漏.

例3 已知函数[f（x）=ex-ax2-bx-1]，其中[a，b∈R]，[e=]2.71828…为自然对数的底数.设[g（x）]是函数[f（x）]的导函数，求函数[g（x）]在区间[0，1]上的最小值.

解析 由[f（x）=ex-ax2-bx-1]得，

[g（x）=f（x）=ex-2ax-b].

所以[g（x）=ex-2a].

因此，当[x∈[0，1]]时，[g（x）∈[1-2a，e-2a]].

（1）当[a≤12]时，[g（x）]≥0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递增，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

（2）当[a≥e2]时，[g（x）]≤0，

所以[g（x）]在[0，1]上单调递减，

因此[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

（3）当[12

所以函数[g（x）]在区间[[0，ln（2a）]]上单调递减，在区间[（ln（2a），1]]上单调递增.

于是，[g（x）]在[0，1]上的最小值是

[g（ln（2a））=2a-2aln（2a）-b.]

综上所述，当[a≤12]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（0）=1-b].

当[12

当[a≥e2]时，[g（x）]在[0，1]上的最小值是[g（1）=e-2a-b].

常见的分类讨论问题

（1）集合：注意集合中空集的讨论.

（2）函数：对数函数或指数函数中的底数[a]，一般应分[a>1]和[0

（3）数列：由[Sn]求[an]时分[n=1]和[n>1]讨论；等比数列中分公比[q=1]和[q≠1]讨论.

（4）三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.

（5）不等式：解不等式时对参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论.

（6）立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.

（7）平面解析几何：直线点斜式中[k]分存在和不存在，直线截距式中分[b=0]和[b≠0]讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论.

（8）排列、组合、概率：分类计数问题.