数学灵活解题能力培养浅谈

赵桂清

摘 要：阐述了提高初中生數学灵活解题能力的实践与探索过程以及对实践过程的反思，主要分以下四个层面展开：正视现状，结合教学实际，开发探究意向；珍惜“机遇”，整合教学预设，引发解题趋向；尊重个性，吻合解题心理，激发灵感指向；反思总结，符合“理念”标准，开发智能方向。

关键词：探究意向；解题趋向；灵感指向；智能方向

基于实践探究和理论学的提炼，我们认为在当前新课程标准实施及改革的热潮中，美国学者斯皮罗（R·J·Spiro）等人提出的认知灵活性理论（Cognitire Flexibility Theory）对初中数学解题教学改革有着极其重要和积极的现实指导作用。我们试图从心理信息加工的角度解释灵活性解题的过程，以揭示学生在实际情况中灵活应用知识的心理机制，从而探求出一套“结合实际，整合预设，吻合心理，符合标准”的方法，来培养学生灵活解题的能力。本实践过程分以下四层展开：

1.正视现状，结合教学实际，开发探究意向

2.珍惜“机遇”，整合教学预设，引发解题趋向

3.尊重个性，吻合解题心理，激发灵感指向

4.反思总结，符合“理念”标准，开发智能方向

斯皮罗（R·J·Spiro）等提出认知灵活性理论（Cognitive Flexibility Theory）：学习是一个不断深化的过程。只有对知识形成深层次的理解，才能灵活地解决各种问题。认知灵活性理论不仅反对传统的机械教学，也反对极端的行为主义教学方式。它主张，一方面要提供建构理解所需要的基础，同时又留给学生广阔的建构空间，让他们针对具体情境采取适当的策略。在我们所接触的知识中，有规律可循，可以直接套用所学知识的就属于结构良好领域的知识，如用乘法口诀解数学题。但是，在现实生活中，大多数问题都是没有确定规律的，这就要求我们利用所学知识，结合问题情境，建构新的理解方式和解决方案。斯皮罗（R·J·Spiro）等提出的认知灵活性理论（Cognitive Flexibility Theory）继承了建构主义理论中关于学习的观点，重点解释了如何通过多维理解的深化促进知识的灵活迁移应用。

一、正视现状，结合教学实际，开发探究意向

本人从教十二年，一直身临教学第一线。近几年发现，我校数学青年教师虽然备课比较认真，程序清楚，且有一定的篇幅，但备课程序千篇一律，教师用自己组织的语言极少，多数教师的教案预设单一，缺乏灵活性解题的意识和策略。下面是一个从教两年的青年教师备一堂习题课中一道例题的教案。我们从中可以看出其备课（预设）的质量究竟如何？

案例一：解法单一

如图1，已知AB是⊙O的直径，线段MN切⊙O于点P，AD⊥MN于点D，BC⊥MN于点C，求证：AB=AD+BC。

教师讲解：连结OP

事后我同这位青年教师交流，问她对这道题是否预设过多种解法，这位小老师红着脸羞愧地对我说：“某老师，因为这道练习题我在备课时患了感冒，所以只是做出一个答案就去讲课了。”我追问：“那么，你事后有否思考过究竟有几种方法，并且最简单的为哪种？”小教师只是微笑摇头……

为引起青年教师的重视，我并没有指责小老师，而是以此题为教材，同青年教师一起学习了习题的重要性和灵活解题的必要性。习题作为课本的有机组成部分之一，蕴藏着丰富的内涵和背景，教学中若能充分挖掘课本习题的潜在功能，进行一题多解和一题多变，定会收到事半功倍的教学效果。其实，以上习题共有七种解法：（其他六种见下图）

以上六种情况的思路分析为：①图2先证矩形，再证OP是三角形的中位线。②图3为证明两组三角形全等。③图4先证四边形为矩形。④图5先证四边形为平行四边形。⑤图6先证OP为三角形的中位线，再证两个三角形全等。⑥图7先证AD∥OP∥BC。

[讨论反思]纵观以上七种解法，证实在认知灵活性理论的指导下，每种思路都各具特色，涉及的知识点有平行截割定理、全等三角形、直角三角形、梯形的判定或性质、圆的切线性质、弦切角等知识，很显然，通过一题多解，学生思维的广阔性、深刻性、灵活性大有长进。

案例二：思维僵持

有一次教师引用了2002年杭州市中考数学试题作为训练题：

时钟在8：30时，时针与分针成（ ）度角。

这是一道典型的实际问题的试题，据钱江晚报报道，该题杭州市考生的错误率达33.4%。该教师见报后，随即让初一的学生做这道题，错误率达50%，这么简单的一道题，错误率却如此之高，究其原因：其一，学生缺乏生活经验；其二，“动态生成”知识与能力成现实问题。多数学生认为：分针在“6”，时针在“8”时，就急切地认为是60°，忘了8时30分，时针转到8和9中间，所以是60+15=75°。

事后教师在课堂上问做错的同学为什么会错，有一位同学真切地说：“老师，这道题我主要是没有再想一想，急于求成的缘故。”

针对以上两个案例，我们深切地反思：在农村初中大多数学生因受知识面、学习心理及学习环境的影响，思维的灵活性较差，这主要是由于我们教师在平时教学时没有灵活解题的意识和指向性训练。为转变现状，我以灵活性理论为指导，在本校的数学解题教学中给学生注入“灵活的激素”，让学生的解题过程滋生活力和生机。

二、珍惜“机遇”，整合数学预设，引发解题趋向

数学产生于实际问题，经抽象、概括、演绎不断发展。目前我们农村初中的数学内容与新课程标准的理念相差甚远。新课程的基本理念中指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的，富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。”这就要求我们农村初中教师从学生的已有经验出发，教学中创设有感染力的真实事件与真实问题。让学生在现实世界的真实环境与意境中去感受、去体验、去生成知识与灵活地解答数学题的能力，但事实上，我们的老师在这方面做得太少了。所以我们于2003年开始，要求自己在设计题目、预设解题方法时，要努力设计出灵活多样、新颖精悍、妙思巧解的经典题、情景题和压轴题，具体做到：（1）把数学知识“镶嵌”于真实的解题情景中，使数学知识具有向心力、亲和力。（2）把解题教学过程“融入”日常活动的意境之中，激发学生灵活思考，寻找多种思路，提高学生灵感思维和创造思维能力。

在具体实践中，我们要求自己和有意愿实践的数学教师在预设数学题内容时求新、求活。

1.求新——提供新鲜的信息，激发解题生机

题材新：为了激发兴趣，可根据数学内容，设计一些符合学生爱好的新题。如在教学一元一次方程的应用时，我们布置了这样一道题：

在2014年全国足球甲级A组的前九轮比赛中，大连万达队保持不败，共积分25分，按比赛规则：胜一场得3分，平一场得1分，问该队共胜了几场球？

这种短小精悍的新题，难度不大，可使一些“足球迷”即兴求解，从而以这样的新“产品”，以新引思，以新促思，以新成思。

2.求活——挖掘题目本身内在的力量，注入解题的活力

（1）思维方法活：如在解图形题时，根据课本习题，可故意隐去一些结论，让学生去解答、猜想、證明，迎合学生希望自己是一个发现者、探索者的欲望，给他们创设一种“探索”的感受意境，使其在解题中感到乐趣无穷。

（2）思维成果活：在解决实际问题时，为学生创造开放的问题条件，从而获得不同的符合条件的结论。使不同层次的学生都有机会参与解题，让学生在自由宽松的课堂氛围中，或自主探索，或合作交流，去收获他们的参与成果。

杭州学军中学闻杰老师观摩课的再现：

现有各种形状的公园若干个（如下图），正多边形公园的各个顶点处均设置有各具特色的亭子，现要在公园内设计道路，使从每一个亭子出来可以走到任意另一个亭子（不经过其他亭子），并且道路要尽可能短，哪家公司设计出的道路最短，哪家公司就中标。现在你们就是设计人员，可以自由组合成设计公司，比一比谁的公司会中标。

在本案例中，学生没有现成的题目可以模仿，也没有现成的方法可以利用，只是问题的条件开放，结论也不唯一。因此可以吸引人人参与，只要根据自身的经验去设计，都有自己的方案。如图，在众多的设计中只有少数是中标的。当然最主要的还是学生自主地去比较，去发现，去感悟，其实垂直不一定是最短的，对角线也不是最短的，最终通过实验、探究、对比，才能归纳出解决的策略，从而使问题的思路明朗化，学生的思维沿着不同的方向展开，最终得到不同的答案。

三、尊重个性，吻合解题心理，激发灵感指向

在指导学生实际解题过程中，时常受知识面、心理环境、思维能力等因素的影响，使解题思维受阻，我们就从分析解题思路入手，灵活求变求解，明确转化求解，亲历动手求解等方法，尽快使思维走出困境，以下是三点处理策略。

1.改变形式，灵活多变

灵活性原则要求在编选例题时，要注意题目解法的多样性、思维方式的多面性和题目的多变性，通过这种题型的训练，使学生具备灵活应变能力。

以应用题为例，题目中的呈现形式以单纯的文字为载体，把条件与问题呈线性排列。而现实可能是表格式、图画式等这些二维或多维的呈现形式。因此，教师要根据教学内容在现实生活与生产中可能的呈现形式，进行适当的改编。

如：在教学以下题目时，我们可以把题目的情景变换一下，把解题的内容与生活内容相融合，把二次函数的应用转化为相应的数学问题，学生得到的是实际问题和数学问题的双向转化训练，学生形成的是实在的数学意识，这样运用鲜活的题材、灵活的解题方法，备受全体学生的青睐。

有一抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的图形放在坐标系里（如图所示），若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一铁柱支撑桥拱，问这铁柱有多高？

2.改静为动，孕育灵犀

近几年来，有的数学题应该用运动变化的观点，才有解题“灵犀”。

如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，O），⊙O′与x轴交于原点O和点A，B、C、E三点的坐标分别为（-1，0），（0，3），（0，b），且0

（1）求点A坐标和经过B、C两点的直线的解析式。

（2）当点E在线段OC上移动时，直线BE与⊙O′有哪几种位置关系；并求出每种位置关系时b的取值范围。

解：（1）易见A点坐标为（4，0），直线BC的解析式为y=3x+3

说明：从运动变化的观点来寻求结论成立的各种情形是探索性题型的一个重要特征，也是必须掌握的一种数学思维方法。

3.改变路径，捕捉灵感

在教学中我们常常发现由于学生对课本知识的片面理解，在解决问题时仅凭直觉或经验，而习惯于照搬照抄，更严重的是由于缺乏具体实践，在碰到实际问题时往往抓不住本质而无从入手。对如何促进学生灵活性解题进行了有益的尝试和探索。

如：最短路径问题研究。

问题情境：在一笔直运河t的河岸同侧有两村庄A、B，它们相距5km，它们距河岸分别为3km和7km，现在河边修建一抽水站需8.25万元（含设备购置和人工费），管道及铺设费为每米24.5元，为使费用最少，抽水站应建在河岸边何处，费用为多少？

生1：（抢先站起来）两点之间线段最短，只要作出A关于直线t的对称点A′，再连结A′B，设A′B与直线t的交点为点C，在C处修建抽水站费用最省。

师：费用是多少？

生1：我还没算过，不太好算。（同学们哈哈大笑，都鼓掌表示赞同）

师：有算出来的吗？（学生开始画图，或同桌、或前后开始讨论）

生2：老师！我们认为那样作并不是最短的。我们过A点作t的垂线，垂足为D，AD+AB好像短一些，我们测量过。（又是一阵大笑）

师：真的吗？你们的想法不错！请每个同学都算出其中一种作法的结果。

生1：用作对称点的方法结果为AC+BC=km，约是10.44km。

生2：用作垂线的方法我们也算出来了：AD+AB=8km。

师：真的要短一些呀！

生2：作垂线要少用约59.78元，总费用约为82559.78元。我们赢了！

“不可思议！”“怎么会这样？”……

师：作垂线的同学是怎么想到的？

生2：上次我们家翻修水管时我去看过了，水管多数是从一户家庭到另一户家庭，并不都需要与自来水厂直接相连。

师：不错！其实我们学过找最短路径的方法也不少，但是数学知识与方法有它们的适用范围，希望同学们多观察生活中的事物，并做到灵活应用所学知识。

生：（齐声）好！

师：刚才同学们都表现得很好。下面再看一个问题：A、B两村庄在运河两岸，相距11.8km，且距离河岸分别为8km和3km，河宽100米。为节省资金，河上铺设段应与河岸垂直，修建抽水站与管道铺设费用同上。问抽水站应建于何处费用最少，最少费用为多少？

在一段时间的沉寂后有学生开始画图了，而且这么做的同学很快多起来，有的还自发地组在一起讨论。

生1：连接AB，再找被河两岸所截线段的中点，过这点画垂线就可以找到。

师：你确定吗？

生1：我只是想到这个方法，不知道行不行。

师：你的想法很大胆，请先试试。还有不同想法吗？

生2：我们按比例画出河流，定出两村庄位置，然后取了几个点，记录相应位置与相应路径的长度，大致找出了位置，但没看出有什么特别。

生2：我们用皮筋试过了，也找到了位置。看来看去，好像平行。

师：是吗？怎样才能说明你们是对的呢？

生2：还没想好。

生3：老师，我们这里有高手，他说可以试一试。

师：好啊！请到前面来，让同学们见识一下高手。（此生画好图，很快找到修建地点）

生3：是平行的时候吧！

师：是AA′∥BB′的时候吗？谁能用所学知识进行解释？……

问题解决后，学生的学习热情空前高涨，他们希望今后的各学科都采用这样的教学方式。其实学生是在不知不觉中体验了科学研究的一般过程，从中体现了自身的价值。在学生兴奋之余，我要求各小组将本次活动作一次总结，并相互交流，说说本次活动中所遇到的困难以及积累了哪些经验与收获，为今后活动做准备。

通过本次活动的成功举行，启发学生要多观察社会，了解社会，并努力用所学知识去解决现实生活中的问题。只有这样才能锻炼自己的能力，体现自己的价值，并从中提高实践能力，培养创新精神。

[反思感悟]从教十二年，课本改革的频率大约是每4～5年进行一次，所以我已经历了两次改革，以往的改革呼声挺大，力度甚小，真可谓是“雷声大，雨点小”，但唯有这两次新课程改革且是“雷声大，雨点也大”。经过多种渠道的培训、多样刊物的学习、多层理论的指点，我深切地感受到，农村初中的数学教学断然不能停留在传统的“说教”方法上，而应当进行研究性学习、探究性学习、体验性学习和实行灵活性解题……实现学习方式的多样化。

几年来，通过广泛深入的理论学习和活动开展，在众多师生的参与下，学生不仅提高了问题意识，培养了合作精神与灵活性意识，更重要的是加深了对社会的了解，形成了一种对现实社会的忧患意识和社会责任感，同时教师也从中开阔了视野，更新了教学观念，对我校数学教学质量的提高起到了举足轻重的作用。

以下是（一般或较差学生）运用灵活性理论进行研究性学习的具体事例。

[鏡头1]在一次用求根公式解答应用题的课堂巡视中，有这样一道题：

浙江工业大学招生人数在两年内从3000名增加到3630名。求浙工大招生数平均每年增长百分之几？

题目一出来，全班同学伏案疾书，几个逞强的学生示意已做好了，我俯身看了好几名学生的，随后等大多数学生都完成了，附解法：

在课堂上我问同学：你能把100（1+x）2=121直接开方吗？

学生：啊！我怎么这样糊涂。我回忆起来，当时我一看到这题就认为用公式法解比较牢靠，所以没有先去开方。

从以上解答过程和上课回答情况看，我们农村学生对所学法则、公式记忆比较准确、熟练，对一般解题程序也比较清晰，有一定的“套路”，但对解题灵活性方面缺乏意识和认识，总喜欢按部就班，常走弯路、偏路，花费时间多，学习效率差。

[镜头2]有一长AB=3，宽BC=2，高CC′=4的长方体ABCD-A′B′C′D′，在A处一只蜘蛛想要去吃C′处的一只苍蝇的最短路径是多少？

我尝试不作讲解，而是先出示题目，要求学生分组讨论。

学生甲：沿AB′→C′的路径最短，为5+2=7。

学生乙马上说：我认为过AHC′路线最短。

我不动声色地问：为什么？

学生乙：根据两点间线段最短，我想把正方形A′B′C′D′竖起来，使它和长方形ABB′A′在同一平面上，如图乙，则AC′就是最短的，它的长度为，学生的思维终于突破了常规的想象，我不由大声叫好。却不料又有一学生站起来说，我认为过AGC′更短，如图丙，最短长度是，大家纷纷叫好，我又因势利导，让学生分析，如果AB=a，BC=b，CC′=c，则沿长方体表面A到C′的最短距离是多少。学生通过讨论计算，归纳总结得，当a最大时，最短距离是，当b最大时，最短距离是，当c最大时，最短距离为。

这使我深深地体会到，学生的灵活性只有在自由宽松的课堂教学氛围中才能发挥，一言堂的课堂教学结构绝对是灵活性思维的杀手。

针对上述问题不难看出，在我们农村初中学生中，对认知灵活性的认识和运用确实比较肤浅。就连教师也缺乏意识，这正印证了美国学者斯皮罗（R·J·SpiFO）等人提出的认知灵活性理论（Cognitire Flexblity Theory）在我们数学解题中的重要性。

四、反思总结，符合新课程标准，开发智能方向

经过实践发现，我们的活动具有可行性和实效性，同时也印证了以下理论和理念的正确性。

第一，印证了认知灵活性理论所蕴含的原则的正确性

1.广泛性原则

在教学活动中使用多种方法表征知识，如多种模式、多种类比或多种角度等，以使更准确地反映复杂知识的多种特性。

2.灵活性原则

强调在多种背景中揭示知识的相互关联性和网络性，使学习者对复杂的内容领域形成丰富而灵活的理解。

3.多样性原则

在某一应用或问题解决任务中促使学习者组装相关的抽象概念与个体案例知识，这意味着教学必须不止一次地涵盖内容，必须使学习者观看概念的大量实例，考察概念意义的多样性，从而达成较为全面的理解。

第二，符合“社会建构主义”理论

首先，建构主义学习理论认为，学习者知识的获取不是通过教师传授得到的，而是学习者在一定的情境下，借助他人（包括教师和学习伙伴）的帮助，利用必要的学习资料，通过意义建构的方式而获得。也就是说，学习者是信息加工的主体，是意义的主动建构者。

建构主义强调以学习者为中心，把“情境”“协作”“会话”“意义建构”作为学习环境中的四大要素。强调学习环境中的情境必须有利于学习者建构有意义的情境，使学习者真正进入教学的真实情境，通过学习者的协作，对学习资料的搜索与分析探究，提出问题，提出设想和进行验证，发现规律以及对某些学习成果的评价。在这个过程中，同时强调组织学习者运用语言和文字向他人表述，让每个学习者的思维智慧为整个学习群体所共享，从而实现意义建构的最终目标，对学期内容有深刻而全面的理解和掌握。

其次，数学问题解决模式符合人类的一般认识过程，即从个别到一般再到个别，从具体到抽象再到具体，从感性到理性再到感性，培养学生洞察生活的能力，在理性与感性的互相包容中体会到了数学的价值。

再次，符合学生认知的心理过程。

最后，符合数学本身的特点。

第三，符合新课程标准理念

实践证明，我们的实践探究符合新课程标准的要求，数学新课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。几年来，印证了我们的解题教学实践是符合新课程标准倡导的方向及理念的。

在实践中我们也获得了一些成效和感想，具体表现为：

1.有利于提高学生学习数学的兴趣和教学质量

几年来的数学尝试使学生不仅对学习数学产生了浓厚兴趣，而且数学教学的质量也得到明显的提高。如学生吴xx、沈xx，虽然参加活动时间尚不长，但其解题能力有了很大的提高，两人均获得了片竞赛一等奖，如今正蓄势待发，准备取得更好的成绩。本人从教12年，每学期任教的两个班数学在平均分、及格率及后三分之一方面明显优于区常模，位居学校前列，由此可见，采用较为灵活的教学方法，克服传统的题海战术及应试教学，已被众多学生认可。

2.有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力

几年的教学实践证明，通过对学生解题灵活性的培养，学生逐渐能将实际问题数学化，通过已学的知识，建立问题的数学化模型，能依据解决问题的一般研究步骤及原则，去完成一个在课本上无法找到现存解决方法的实际问题，培养了学生的创新意识和开拓精神，提高了学生适应社会的能力。积极参与竞赛辅导，所带学生在2010年至2012年的全国华杯赛中获一等奖的6人，二等奖9人，三等奖14人。

3.有利于提高学生研究解决数学问题的自信心

实践表明，通过对灵活解决实际问题的一般步骤的训练与指导，提高了学生解决数学问题的能力，学生对待实际问题在心理上具有较大的承受力，从而增强了用数学知识和方法解决实际问题的信心和决心，使他们进一步感受到数学的真正乐趣，更加喜欢数学。

综上所述，授人以鱼，不如授人以渔。在斯皮罗（R·J·Spiro）等人提出的认知灵活性理论（Cognitire Flexibility Theory）指导下，科学灵活地培养学生的数学解题能力，无论对于学生数学思维方式的形成，还是学生的终生发展都具有實践意义。

参考文献：

[1]孙晓天.新课程理念与初中数学课程改革.东北师范大学出版社，2002.

[2]谌业锋.有效教学的理念与策略.四川省凉山州教育科学研究所，2006.

？誗编辑 赵飞飞