基于谐波小波的梳状滤波器设计及应用

梁瑞刚　姚炽伟

摘 要：针对数字滤波器设计问题，利用谐波小波在频域具有良好的盒形特性，以及傅里叶变换的尺度、线性、频移特性，研究了一种通过叠加多个具有不同中心频率的谐波小波，在频域构建出平顶滤波器的方法；结果表明：基于谐波小波设计的梳状滤波器设计方法易于理解和编程实现，通过合理选择带宽参数即可设计出工程应用所需的高性能多通带滤波器。

关键词：信号处理；梳状滤波；滤波器设计；谐波小波

滤波是信号分析中较为常用的手段之一，它的目的主要在于信号选频，将所需要的频率选取出来，而将不需要的频率成分衰减掉。当信号在复杂系统中传输时，每通过其中的一个环节，都会受到该环节传输特性的影响，使信号有所变化（衰减、放大、延迟等），这就形成了更为广泛的滤波和滤波器的概念。

按照信号处理的性质，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。数字滤波器的实现不但比模拟滤波器容易的多，而且还能获得较理想的滤波器性能，在数字信号处理中应用非常广泛。在经典数字滤波器设计中包括无限冲激响应滤波器（IIR，Infinite Impulse Response）设计和有限冲激响应滤波器（FIR，Finite Impulse Response）设计两大类。FIR滤波器可实现线性相位，为获得较好的性能，常需要较高的阶次，若对信号处理的实时性没有特殊要求，FIR滤波器是较好的选择。

经典滤波器的设计原理和方法都很成熟。笔者利用谐波小波在时域、频域都具有良好集中性的特点，以及傅里叶变换的尺度、线性、频移特性，研究了一种通过多个具有不同中心频率的谐波小波时域叠加，在频域构建出平顶滤波器的设计方法。利用MATLAB软件编写了应用程序，并结合仿真信号进行了验证。

1 谐波小波

1993年由英国剑桥大学D.E.Newland教授首先提出的谐波小波概念，这种小波有优秀的紧支性以及完全"盒形"的频域特性，具有更为广泛意义的正交性，可以更为灵活的实现时频分解，没有二进限制。

2 梳状滤波

广义谐波小波实质上等价于一个可以任意调节通带位置的理想带通滤波器，在实际应用中，由于存在时域截断，所以其频谱会有严重的Gibbs现象，即纹波现象。为了压制纹波，常用的做法是叠加边瓣较小的窗函数，比如汉宁窗、海明窗或高斯窗。其中，汉宁窗和海明窗由于无法调节衰减频率，因此在实际应用中较为受限，而高斯窗可以通过调节带宽参数来调节衰减频率从而可以适用于各种场合。引入高斯因子而构造的复解析带通滤波器的时域表达式为：

其中，a为高斯窗的带宽参数。通过设置不同的带宽参数a就可以达到调节衰减速率的目的，使得其频率响应具有近似“盒形”特性，因而可以适用不同的应用场合。

考虑到故障频率往往是以倍频的形式出现，因此将不同中心频率的带通滤波器相互叠加构成—梳状滤波器就可以更好的完成滤波功能，组合带通滤波器的时域表达式为：

实际应用中通过合理设置不同的参数就可以实现不同带宽及通带间隔的梳状滤波器设计，达到多通带滤波的功能。

3 信号仿真

利用基于谐波小波设计的梳状滤波器来进行降噪，令高斯窗的带宽参数a=2，构造中心通带的中心频率为400Hz，中心通带两侧通带数为2，相邻通带间隔为30 Hz，各通带带宽为10 Hz，对信号进行卷积处理后，频谱如图2所示。

从图2中可以看出干扰频带已经基本滤除，信噪比由之前的4.12dB变为了15.8dB，在处理实际采集故障信号时，由于采集误差的存在，边频带不可能等间隔分布，因此，梳状滤波器的通带带宽不能太小以确保可以将故障信号提取出来。

4 结束语

基于谐波小波原理的梳状滤波器设计，利用了谐波小波近乎“盒形”的频域特性，考虑到Gibbs效应，在叠加高斯因子后其纹波衰减速率得到调节，通过叠加不同中心频率的谐波小波就可以设计出所要求的梳状滤波器，并通过带宽参数a可以灵活控制中心带宽位置和通带间隔，因而可以利用此方法来灵活设计各种梳状滤波器来处理实际工程应用问题，此设计原理流程易于理解，理论支撑合理，同时由于谐波小波有明确的函数表达式，故易于通过MATLAB编程实现。

此方法实际应用中需要注意以下几个问题：

（1）为了保证滤波器的过渡带窄，带宽参数a应选择大一些。但此时为了保证通带平直，所使用的小波个数会多一些。因此，a和？驻f的取值不唯一，可以有多种不同的组合。

（2）为了简化设计过程，。这样滤波器的通带完全由起始频率fL和组合小波的个数M确定。

（3）经典滤波器中的低通、高通、带通滤波器均可按单通带滤波器设计，带阻滤波器可按两通道带通滤波器设计。

（4）在多通带滤波器设计中优势明显，且每个通带的起始频率和带宽可以灵活选择，尤其对于窄带梳状滤波器的设计可以取得很好的性能。

参考文献

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作者简介：梁瑞刚（1991-），男，硕士研究生，从事机械振动信号诊断与特征提取研究。