数形结合思想在高考中的应用

王新宏

数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时往往能发挥奇效，因此重视对有关数形结合题型的分析，将有助于提高解题的能力和速度. 下面就2014年高考中出现的数形结合题型进行浅析，希望引起更多读者对数形结合思想的重视.

数形结合在圆中的应用

例1 在平面直角坐标系中，[A，B]分别是[x]轴和[y]轴上的动点，若以[AB]为直径的圆[C]与直线[2x+y-4=0]相切，则圆[C]面积的最小值为（ ）

A. [45π] B. [34π] C. [（6-25）π] D. [54π]

分析 涉及直线与圆的位置关系式，应多考虑圆的性质，利用平面几何知识直观求解.

[ 图1] 解 如图1，以线段[AB]为直径的圆[C]必过原点O（[∠AOB=90°]），要使圆[C]的面积最小，只需圆[C]的半径或直径最小. 又圆[C]与直线[2x+y-4=0]相切，所以由平面几何知识知，圆[C]的直径的最小值为点[O]到直线[2x+y-4=0]的距离，此时[2r=45]，得[r=25.]因此，圆[C]面积的最小值为[S=πr2=45π].

答案 A

点拨 本题考查考生灵活运用所学知识分析问题，解决问题的能力；仔细琢磨、分析，动圆[C]的圆心的轨迹是一条抛物线，其中[O]为顶点，直线[2x+y-4=0]为准线. 此时也就不难理解为什么原点[O]到直线[2x+y-4=0]的距离为直径的最小值，设计独特.

数形结合在向量中的应用

例2 在平面直角坐标系[xOy]中，已知向量[a，b，|a|][=|b|=1，a?b=0]，点[Q]满足[OQ=2（a+b）]. 曲线[C={P|OP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}]，区域[Ω={P|0

A.[1

C.[r≤1

分析 因为[a=b=1，a?b=0]，即[a]与[b]为单位向量，且相互垂直，所以把[a]与[b]作为平面直角坐标系的基底. 从而可使点[Q]坐标化，曲线[C]与[Ω]具体化，问题明朗化、简单化.

解 设[a=（1，0），b=（0，1）]则[OP=（cosθ，sinθ）]，[OQ=（2，2）]. [ 图2] 以曲线[C]是单位圆，区域[Ω]为圆环（如图2），要使得[C?Ω]为两段分离的曲线，就要使得[Ω]圆环的大小圆与单位圆[C]都相交即可. ∵[|OQ|=2]，∴[1

答案 A

点拨 此题把向量、集合、三角函数、平面几何、解析几何融合交汇，侧重几何意义的考查，综合性较强，重视对数学语言的运用与转化，显示出命题人的巧妙构思，起着一定的把关作用.

数形结合在函数中的应用

例3 已知函数[f（x）=ax3-3x2+1]，若[f（x）]存在惟一的零点[x0]，且[x0>0]，则[a]的取值范围是（ ）

A. [（2，+∞）] B. [（1，+∞）]

C. [（-∞，-2）] D. [（-∞，-1）]

分析 在研究含参数的函数零点问题时，借助导數，利用[f（x）]与[f（x）]的图象，数形结合分类讨论，可快速准确地解题.

解 （1）[a=0]时，有两个零点，不满足题意.

[ 图3]（2）[a<0]时，[f（x）=ax3-3x2+1]，[f（x）=3ax2-6x=0]，得[x=0]或[x=2a]，由[f（x）]的草图如图3可知，

当[x∈（-∞，2a）]时，[f（x）<0]，[f（x）]为减函数；

当[x∈（2a，0）]时，[f（x）>0]，[f（x）]为增函数；

当[x∈（0，+∞）]时，[f（x）<0]，[f（x）]为减函数.

故得满足题意[f（x）]的草图为图4： [图4]

因为[f（x）]存在唯一的零点[x0]，

所以[f（2a）>0]，得[a>2]或[a<-2].

故此时[a<-2].

（3）[a>0]时，[f（x）=3ax2-6x=0]，

得[x=0]或[x=2a]，由[f（x）]的草图如图5可知：

[ 图5] [图6]

当[x∈（-∞，0）]时，[f（x）>0]，[f（x）]为增函数；

当[x∈（0，2a）]时，[f（x）<0]，[f（x）]为减函数；

当[x∈（2a，+∞）]时，[f（x）>0]，[f（x）]为增函数.

故此时满足题意[f（x）]的草图为图6.

因为[f（x）]存在唯一的零点[x0]，但显然[x0<0]，不满足题意.

综上得：[a<-2].

答案 C

点拨 此题考查了含参数的零点讨论、转化与化归、数形结合、分类讨论的数学思想的应用，画图很好地为解题搭建了思路，逻辑思维方面，步步为营，环环相扣，层层递进. 虽然背景质朴熟悉，但考生不易求解或由于思维不严谨而容易出错.

例4 已知函数[f（x）]是定义在[R]上的奇函数，当[x≥0]时，[f（x）=12（|x-a2|）+|x-2a2|-3a2.]若[?x∈R，f（x-1）][≤f（x），]则实数[a]的取值范围为（ ）

A. [[-16，16]] B. [[-66，66]]

C. [[-13，13]] D. [[-33，33]]

解析 当[x≥0]时，[f（x）=-x， 0≤x≤a2，-a2， a2

又[f（x）]为奇函数，可得[f（x）]的图象如图7所示，观图象可知，要使[?x∈R， f（x-1）≤f（x）]成立，则需满足[4a2-（-2a2）≤1]，解得，[-66≤a≤66].

[图7]

答案 B

点拨 本题考查考生应用数形结合思想、综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力，充当小题把关的重要角色，题目设置新颖，算的不多，但想的很多且还要想到位，这需要足够的知识储备与数学灵气.