例析高考导数热点题型
2015-05-30匡婷
匡婷
函数是高中数学的主线,而导数是研究函数的重要有力工具,对导数的考查是各地历年高考的“不动点”. 主要从以下三个方面进行考查:一是考查导数的运算与导数的几何意义,二是考查导数的简单应用(例如求函数的单调区间、极值与最值等),三是考查导数的综合应用.通过对2014年各地高考试题分析,本文对导数的热点题型加以盘点,以期对大家有所帮助.
导数的运算和几何意义
1. 导数运算
例1 已知函数[f0x=sinxx(x>0)],设[fnx]为[fn-1x]的导数,[n∈N*]. 求[2f1(π2)+π2f2(π2)]的值.
解析 由已知得,[f1(x)=f0(x)=cosxx-sinxx2],
于是[f2(x)=f1(x)=-sinxx-2cosxx2+2sinxx3],
所以[f1(π2)=-4π2],[f2(π2)=-2π+16π3].
故[2f1(π2)+π2f2(π2)=-1].
点拨 导数的计算是利用导数研究函数的第一步,一定要计算正确.在平时的学习过程中,大家要牢记初等基本函数的导数以及导数的运算法则,对比较复杂的函数求导,遵循先化简再求导的基本原则.
2. 导数几何意义——切线相关问题
例2 如图所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
A.[ y=12x3-12x2-x]
B.[ y=12x3+12x2-3x]
C.[ y=14x3-x]
D.[ y=14x3+12x2-2x]
解析 该三次函数的图象过原点,不妨设其解析式为[y=f(x)=ax3+bx2+cx],且[f(0)=-1],[f(2)=3],
所以[c=-1],[3a+b=1].
又[y=ax3+bx2+cx]过点[(2,0)],
[∴4a+2b=1],[∴a=12,b=-12.]
[∴y=f(x)=12x3-12x2-x].
答案 A
点拨 函数[f(x)]在[x=x0]处的导数[f(x0)]的几何意义是曲线[y=f(x)]在点[(x0,fx0)]处的切线的斜率.本题的关键是要抓住在点[(0,0),(2,0)]处直线与曲线相切这两个条件.
利用导数求函数的单调区间
例3 设函数[f(x)=alnx+x-1x+1],其中[a]为常数. 讨论函数[f(x)]的单调性.
解析 函数[f(x)]的定义域为[(0,+∞)].
[f(x)=ax+2(x+1)2=ax2+(2a+2)x+ax(x+1)2].
(1)当[a≥0]时,[f(x)>0],函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增.
(2)当[a<0]时,令[g(x)=ax2+(2a+2)x+a],
由于[Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1)],
①当[a=-12]时,[Δ=0],[f(x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0],函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递减.
②当[a<-12]时,[Δ<0],[g(x)<0],[f(x)<0],函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递减.
③当[-120].
设[x1],[x2(x1 则有[x1=-(a+1)+2a+1a],[x2=-(a+1)-2a+1a]. 因为[x1=a2+2a+1-2a+1-a>0], 所以,[x∈(0,x1)]时,[g(x)<0],[f(x)<0]. [x∈(x1,x2)]时,[g(x)>0],[f(x)>0.] [x∈(x2,+∞)]时,[g(x)<0],[f(x)<0.] 综上可得(1)当[a≥0]时,函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增;(2)当[a≤-12]时,函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递减;(3)当[-12 点拨 导函数的符号决定了原函数的单调性,在高考试题中,多数求单调区间的试题都要对参数进行分类讨论,这是一个难点. 突破这个难点的关键是找到分类讨论的原因:(1)若方程[f(x0)=0]无解,函数在定义域内一般为单调函数;(2)若方程[f(x0)=0]有解,再看方程的解是否在定义域内. 利用导数求函数的极值、最值 例4 已知函数[f(x)=(x2+bx+b)1-2x(b∈R)].当[b=4]时,求[f(x)]的极值. 解析 依题意得[x≤12]. 当[b=4]时,[f(x)=-5x(x+2)1-2x.] 由[f(x)=0]得,[x=-2]或[x=0]. 所以当[x∈(-∞,-2)]时,[f(x)<0],[f(x)]单调递减. 当[x∈(-2,0)]时,[f(x)>0],[f(x)]单调递增. 当[x∈(0,12)]时,[f(x)<0],[f(x)]单调递减. 故[f(x)]在[x=-2]处取得极小值[f(-2)=0],在[x=0]处取得极大值[f(0)=4]. 点拨 求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程[f(x)=0],判断[f(x)=0]的根[x0]是否是极值点,即看[x0]左右两边的单调性是否发生了改变. 利用导数求参数的范围 1. 已知函数单调性求参数的取值范围 例5 若函数[f(x)=kx-lnx]在区间[(1,+∞)]上单调递增,则[k]的取值范围是( ) A. [(-∞,-2]] B. [(-∞,-1]] C. [[2,+∞)] D. [[1,+∞)] 解析 [f(x)=k-1x=kx-1x],且[x>0], 由题意可知,[f(x)≥0],即[kx-1≥0],即[x≥1k(k<0]时不满足[)]. 因为函数[f(x)]在区间[(1,+∞)]上单调递增, 所以[1k≤1],解得[k≥1]. 答案 D 点拨 可导函数在某一区间[I]上单调,就是不等式[f(x)≥0]或[f(x)≤0]的解集包含[I],也就是在区间[I]上[f(x)≥0]或[f(x)≤0](有限个点取等号)恒成立. 2. 恒成立问题求参数的范围 例6 当[x∈-2,1]时,不等式[ax3-x2+4x+3≥0]恒成立,则实数[a]的取值范围是( ) A. [[-5,-3]] B. [[-6,-98]] C. [[-6,-2]] D. [[-4,-3]] 解析 (1)当[-2≤x<0]时,不等式转化为[a≤x2-4x-3x3]. 令[f(x)=x2-4x-3x3(-2≤x<0)], 则[f(x)=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4], 故[f(x)]在[-2,-1]上单调递减,在[(-1,0)]上单调递增,此时有[a≤1+4-3-1=-2]. (2)当[x=0]时,不等式恒成立. (3)当[0 综上,[-6≤a≤-2]. 答案 C 点拨 若[f(x)]在区间[I]上存在最值,则[?x∈I,][ f(x)≤a]恒成立[?f(x)max≤a];[?x∈I],[f(x)≥a]恒成立[?f(x)min≥a]. 3. 存在问题求参数的范围 例7 设函数[f(x)=alnx+1-a2x2-x(a≠1)],若存在[x0≥1]使得[f(x0) 解析 [f(x)]的定义域为[(0,+∞)], [f(x)=ax+(1-a)x-1=1-ax(x-a1-a)(x-1)]. (1)若[a≤12],则[a1-a≤1], 故当[x∈(1,+∞)]时,[f(x)>0],[f(x)]在[(1,+∞)]上单调递增. 所以存在[x0≥1]使得[f(x0) 解得[-2-1 (2)若[121], 故当[x∈(1,a1-a)]时,[f(x)<0];当[x∈(a1-a,+∞)]时,[f(x)>0]. [f(x)]在[(1,a1-a)]上单调递减,在[(a1-a,+∞)]上单调递增. 所以存在[x0≥1]使得[f(x0) 而[f(a1-a)=alna1-a+a22(1-a)+aa-1>aa-1],不符合题意. (3)若[a>1],存在[f(1)=1-a2-1=-a-12 综上,[a]的取值范围是[(-2-1,2-1)?(1,+∞)]. 点拨 若[f(x)]在区间[I]上有最值,则[?x0∈I],使得[f(x0)][≤a][?f(x)min≤a];[?x0∈I],使得[f(x0)≥a][?f(x)max≤a]. 4. 导数与相关知识交汇 例8 函数[f(x)=ln(x+1)-axx+a(a>1)].讨论[f(x)]的单调性. 解析 易知[f(x)]的定义域为[(-1,+∞),][f(x)=][xx-(a2-2a)(x+1)(x+a)2].