基于网络的数学课程软件项目化教学模式

付艳茹 马强

摘 要： 基于数学精讲多练和增益性提升学生学习成效的目标，分析了网络条件下数学课程软件项目化教学的内涵与形式，阐述了数学内容与数学软件融合及教学资源重组的实现过程，讨论了项目化教学设计中的教学要素和软件实现的普适性方法。

关键词： 数学课程； 项目化； 软件； 网络； 教学设计

中图分类号： G712 文献标志码： A 文章编号： 1671-2153（2015）05-0017-05

数学教学历经PPT、学习网站、MOCC视频课程等多种辅助形式，不同层次的院校基本实现了由传统式“黑板+粉笔”到互动式教学的转变。仅依院校而言，由于数学教学欠缺探究性，加之数学内容本身枯燥的自然属性，学生往往质疑和误判数学课程的应用价值。功利性取向对学习效果的影响显著，精讲与多练之间的矛盾依旧，出现了许多“互而不动”的现象，似乎启发式数学教学遇到了新的瓶颈。一些学者已经注意到了这个新的问题[1]-[6]。如何使数学教学立足于“改”转向“改好”值得不同层次的院校探索。

笔者多年来在对“普+职”学生只分层不分班的弹性分层基础上，基于“云计算辅助教学”CCAI的网络条件，采用软件项目化对高等数学和应用数学课程进行改革，通过设计数学软件模块和数学内容衔接串并成数学教学小项目，采用互动性和探究性的教学协作来达成“精讲”与“多练”，带动学生的学习，改变将教师和学生视已知者和未知者的简单划线，提升了学生学习数学的兴趣和学习水平。

一、数学课程软件项目化概念

数学课程软件项目化教学是将抽象思维与形象思维相结合的行为导向性数学教学模式，是启发式教学在网络条件下的升级版，是一种基于网络条件综合运用和分解不同的数学软件，按照数学的知识点和数学逻辑，师生以教学协作的方式共同实施一个相对完整的数学教学项目工作而进行的互动式教学活动。与传统数学教学模式的主要区别是：教学设计不独囿于数学教材内容本身，强调数学软件和数学内容的教学协同；数学教学过程以师生互动式探究为主；数学内容按数学逻辑分解为相对独立操作的项目化教学单元，按教学单元来部署数学软件模块；项目化教学过程中具有相对明确的单元始终时间，结束后有相对完整的数学教学小项目作品，以此为教学测量与评价的量化依据。

前述模式是数学软件借助网络条件的主动介入来干涉互动式数学学习，其教学策略的典型特征可以概括为数学教学过程中的“精讲多练、项目拉动”。之所以强调软件对互动式学习数学的主动介入和干涉，原因是数学教学条件在师生教与学两端均已发生较大变化，不同层次学生面对着学时少、课程多、内容杂、就业难的多重需求，促成了数学教学很难合理对冲有限学时与教学密度，表现出平衡“精讲多练”与“互动探究”相互重叠时序上的乏力，以及学生位于教学终端的“只启不发”的疲态，而软件的介入是希望通过数学教学小项目的探究形成互动。美国学者乔依斯（B.Joyce）和许瓦斯（B.Showers）在1982年所做的等组实验中发现，经历案例式或项目化的师生互动指导，有近75%的学生能在课堂上直接有效地应用所学的内容，而采用传统的教学方式，则只有15%悟性较高的学生能有同样的表现，其他较多同学无法直接消化教学内容，需要课后再复习。在二人所完成的等组实验中，教学设计中的负荷主要来源于案例或项目的拉动，而负荷的效率达到了60%的幅度[6]。

仅就教学本身而言，数学课程的软件项目化并未改变教师传递数学知识的本质任务，数学软件也并非是要求学生额外学习的指向，只是强调数学和软件的教学协同和应用，它与传统上启发式教学和因材施教也并不相悖，只是案例式在现代技术条件下的高级阶段，而数学软件的介入可施加必要的教学项目负荷，充分再现“教为主导、学为主体、疑为主轴、动为主线”教学互动过程，通过项目形成互动以为抽象思维与形象思维穿针引线，有助于学生解析不同难度数学问题时，由项目记录数据信息反映学生个人注意力和学习负荷，既有助于学生去除应试意识，也有助于教师分析学生对不同受挫级别的反应，以便在学生学习数学过程中的重要时刻，给予必要和有效的干涉。

二、数学与软件的内容融合与教学协作

数学课程项目化的前置条件是基于网络合理选取数学软件的若干模块介入数学教学，选取的基本原则是所选软件模块与数学教学内容相适配，确保数学内容与数学软件在教学过程中所占比重主次分明。一般应选用适宜学生直接使用的“傻瓜式”数学软件为主，师生可以直接使用而不必另外开课，反之，将因头重脚轻的教学设计而加重学生于数学之外的学习负担。表1列出了适宜教学可选的数学软件。

按软件研发地分为来自国外和国内的两类，前者以MATLAB、MATHMATICA、MINITAB等处于国际前沿专业化数学软件为代表，通过数学软件介入，可轻松辅助师生在数学课堂上实现信号仿真、数学建模、公式解析显示、2D或3D作图、复杂数学计算等教学任务；后者则以MathQ、MathPlay、SciencePlay、ScienceIE等为代表，其中的MathQ软件几乎为数学而生，它以QQ软件的风格首次实现了数形结合及数学教学过程的即时通讯（见图1），最大程度兼顾了学生学习数学与日常娱乐的使用习惯，可为师生的实时互动串针引线，教师可用之指定学生进行学习相互帮带，以及依据学习水平对学生进行弹性分层，从而可以基于网络完整地再现学生互助及师生互动探究数学学习的整个过程。

在前述数学软件中，一般可选取处于数学软件主导地位的MATLAB作为项目化教学的首选软件。MATLAB在国外是数学专业以及计算机、电子等相关专业学生的主要必修课，在国内则是一般以数学实验的选修课形式而存在。由于MATLAB包含了600多个数学函数的交互式集成环境，师生可在教学过程中无需大量编程，而直接进行矩阵运算、复数运算、符号运算、三角函数计算、几何变换、傅立叶变换、积分变换、特征向量计算、数组计算、线性方程组求解、微分方程组求解、偏微分方程组求解等，还可以进行数据统计、数学建模、仿真计算、信号处理、图像处理等可视化操作，几乎覆盖现今高校中典型数学课程的全部教学内容。教师可以在此基础上，再同时选取数学软件MathQ、MathPlay、ScienceIE等，与前述的MATLAB

软件结合使用，并与分解的数学教学内容一道构成了项目化教学元素，而师生可以借助此类数学软件的功能，通过项目化教学中预设的数学问题由手工解析到数学软件求解的辅助对照，以实时互动的方式，在数学课堂上实现与数学内容的协同以及师生或学生之间的教学协作，并通过附加MathQ、SciencePlay、ScienceIE等软件将数学教学活动从课上延展至课下，并为下次课留置待以解决的数学问题伏笔，从而有机形成数学教学时空的无隙闭环。

三、教学设计中的教学资源与教学要素

数学课程项目化教学模式牵涉了与传统“黑板+粉笔”式、PPT辅助教学式以及视频录像式等显著不同的教学资源配置，包括师资的执教水平、教学场地（机房）条件、班级人数标准、助教配备数量、教学管理方式、可操作的考核手段，甚至在思维层面涉及管理者对项目化教学的认识等软资源。仅微观上就数学课程项目化教学模式而言，整个实施过程需要教学团队的集体参与而非教师个体的单打独斗，其教学资源配置过程可能冲突于管理者的思维、僵化的教学管理制度及陈旧的课程标准，故需要基于创新角度来理顺认识，反之，往往会因认识缺位产生一定阻碍力量。

与此同时，师生于项目化教学过程中的互动与探究，是以牺牲较多的教学资源成本为代价的，如具备至少班级规模的网络电脑场地条件等，那种超大合班批发式和“黑板+粉笔”式乃至PPT教学幻灯片式的低成本教学，均无法与项目化教学所需资源相较短长。另外，实施项目化教学的前置条件是需要懂数学且会用软件的“双师型”教师，虽然项目化教学过程会衍生学生自主学习数学的能力，但“教于学之前”并未完全取代，知识技能结构单一的教师很难适应项目化教学的需求，即使配备助教试图弥补使用数学软件的短板，也将会于项目化教学课程上遭遇实时互动的困难。

实际上，数学课程项目化教学是教师将数学软件和数学教学内容相互串并而形成互动探究的学习条件和氛围，其中的关键在于挖掘教学要素，即将整个数学教学内容分解成能在教学单元内附载的项目负荷。以高等数学极坐标（ρ，θ）教学内容为例，全部的理论教学内容包括极坐标概念解释、极坐标与直角坐标互换、平移变换、直线的极坐标方程、椭圆的极坐标方程、双曲线的极坐标方程、抛物线的极坐标方程、圆锥曲线的极坐标方程八个部分，如按传统方式教学加手工解析数学题目练习，则至少在6～8个学时左右。

考虑到数学软件的有效介入，对等量教学内容分布于项目化教学中，可只预估4个学时单元，前5部分则预估2个学时单元，教学设计可依“教师讲、学生讲、置疑设问、软件使用、结果讨论、中立（含静止）、再置疑（待课后）”七个互动分类阶段相混合展开，并组合选取数学软件为“MATLAB+MathQ+Science IE+SciencePlay”，每部分均对应选取MATLAB软件的不同模块，以此将数学软件与数学理论相串并。其中数学理论教学和数学软件实践的占比可控为约4：6，前者占比大的是“学生讲、置疑设问”两个阶段，后者占比大的是“软件使用、结果讨论”两个阶段，而“教师讲”阶段的占比通过在项目化教学过程中融合数学内容和数学软件进行压缩，为师生互动有意创造预留的时间。

为了说明教学设计中重组教学资源和确定教学要素的过程，笔者将前述极坐标（ρ，θ）部分的数学内容与数学软件相串并。教学设计的基本思路是仅以直角坐标转为极坐标公式x=ρcosθ和ρsinθ、极坐标转为直角坐标公式ρ2=x2+y2和tanθ=y/x（ρ>0，0≤θ≤2π）、平移变换以及典型数学题目的手工解析为主，而以过点ρ（x0，y0）直线的极坐标方程x=x0+rcosθ和y=y0+rsinθ、椭圆的极坐标方程x=acosφ和b=sinφ（a>b>0）（二部分内容的软件实践为辅，试图由学生动手来发现蕴含的数学规律后，再回到教师主导的公式解析上来。

教学实施则是以MATLAB软件的不同模块为负荷进行，对课堂上以抽象思维讲授的极坐标内容，再以形象思维过渡到一维曲线及二维曲面上去，其教学元素集中在软件提供的8个数学函数的应用牵引上。教师可按照项目化教学时序，经由软件实践达成师生的实时互动，具体可在连续2个学时的项目化教学单元的后半部分，先由randn函数产生高斯分布随机数，用rose函数以数据大小和数据量分别作为角度和距离的样本点进行第一次绘图；次之用linspace函数产生等间距数组经余弦叠加指数函数exp，以stem函数进行第二次绘图；再选取数据点为复数，取正弦和余弦函数按 0～2区间样本点，用feather函数对复数矩阵元素相角和幅值进行第三次绘图；继而固定起点为圆点并用compass函数对自原点出发由实部和虚部组成的向量进行第四次绘图（图2）。

通过上述层层推进式的互动，师生共同完成了极坐标前5部分教学内容在基本XY平面及XYZ空间内的一维曲线及二维曲面的软件串并，由MATLAB产生的模块程序量却很小。例如，对应于图2（b）所示的模块程序只有下列一段：

a=linspace（0，2*pi，40）；

z=cos（a）+i*sin（a）；

compass（z）；

显然，经分解的、长度适宜、功能明确的软件程序模块介入项目化学习过程，学生增加不了太大的额外学习负担，更主要的是形象思维与抽象思维之间的如此交替，实时互动于螺旋式学习过程，使之在“为什么这样？”、“这样有什么用？”、“怎么才能这样？”的轮询中，激发学生的学习兴趣。图2给出的是前述极坐标四次绘图中的首尾二次，从中可以想见，假设数学软件不介入项目化教学以对极坐标的转换绘图2（a）以及实部与虚部组成向量的绘图2（b），那么学生就很难从数学教师抽象讲授中获得极坐标生动具体的空间形象。

在此建立形象思维之后，教师可接续此教学节点，按约4：6的占比，再次转向极坐标（ρ，θ），并记录于小项目实验报告中，而后三个部分的教学内容可留置课后。

除前述实施过程之外，在数学课程项目化教学的末端，教学要素主要体现为教师对学生完成情况的小项目作品进行实时评价，或基于网络提交的作业验收，以及课上向课下的小项目延展，包括为下次教学内容留置的设问、课后习题手工解析、所附加的数学软件实践以及追溯本次课程发生于“中立”阶段的问题。一般而言，处于“中立”阶段的表现是教师主导的数学教学活动发生了暂时停顿现象，与之相伴的往往是次生的“静止”阶段，即学生不理解教师所讲数学内容，原本期望的教学互动和探究无奈地变成了“互而不动”和“探而不究”，表征为教者洋洋洒洒，学者昏昏欲睡。因此，教师需要思考教学设计本身的修正和项目负荷大小的调整，“中立”和“静止”阶段的用时较长，意味着师生之间已然难以互动，说明项目负荷过大，需要减少数学软件模块的介入，以防止分散学生学习精力；反之，说明项目负荷过小，需要加大介入的数学软件模块，吸引学生的注意力于数学应用之上，以此实时调动和保持学习兴趣。

值得注意的是，项目化教学的“再置疑”阶段是相邻时序数学内容的承上启下，也是项目化教学基于网络于课后的自然延展，并非是项目化教学的终点。由于网络条件下数学软件的属性功能，确保了教师主导的项目化教学永远处于在线状态，有助于帮助不同层次和学习水平的学生摆脱自主学习过程中遇阻的现实状态，学生可以基于网络兴趣盎然地运用MathQ、Science IE、SciencePlay等数学软件，随时与教师或同学保持在线联系与离线请求，还可同时利用Science IE和SciencePlay软件于网络上搜索包含各类公式在内的数学内容，继续完成课堂现场未及完成的小项目，以及预习新的数学内容以先期形成形象思维，为下次项目化教学创造学习基础，相当于增加了数学习题课和教师答疑的时间总量，也在一定程度上解决了数学教师受课程学时所限而难以发力的现实问题。

另一方面，师生借助MathQ软件进行的视频和音频在线讨论、在线远程白板等，几乎是将教师在传统数学教学中惯用的黑板迁移到了实时网络之上。更令学生兴奋的是，进入到“再置疑”阶段，师生之间已知失去了已知者和未知者的简单界线，诸如求极限、求导数、求积分、求解特征向量、求解大型方程组，求解同构变换周期等数学题目的解析，均可由MATLAB一类的数学软件计算出结果和验证正误。它的直接成果就是数学教师演变成互动过程的引导者，而以教师为主体的教学协同过渡为以学生为主体的学习协同，增益性提升了学习成效，潜移默化地影响互动探究自主式学习习惯。

笔者曾对“普+职”班级的高等数学课程进行过只分层不分班的弹性分层教学改革，并以考核加分的形式激励学生互动式帮带，结果表明了学生的学习兴趣和学习成效优于不予分层的班级；后期对所承担的高等数学和应用数学课程进行了项目化教学改革尝试，数学软件介入以MATLAB为主，课下互动则选取了MathQ软件，将课程教学内容依次各分解为2学时的教学单元，相应选取了MATLAB软件模块，而数学小项目则定义了数学实验报告。结果表明：项目化教学之后的师生互动的占时和占比变化显著，其中课上“学生讲、学生练”及“结果讨论”的占比分别达到31.92%、33.43%、30.16%，较之项目化之前相应的10.12%、16.33%、18.25%有明显提升，更为可喜的是学生学习数学兴趣的显著改变，以及平均成绩的稳步提高，印证了项目化模式的有效性。不足之处是项目化教学所需资源较多，学校和教师均需付出较之以往更高的教学成本，对数学教师个体的心理承受能力也是一个考验。

四、结束语

网络技术和数学软件的发展为突破传统的启发式数学教学的瓶颈，以便由传统的讲授和传递转向现代的互动与探究，促进教学设计从僵化的静态结构转向创新的动态结构，提供了可落地操作的有限可能，而数学课程软件项目化教学改变了教学操作末端形态，教师可调节项目负荷大小以弹性方式匹配不同层次学生学习数学的需求， 是互动和探究学习数学过程中最佳的教学协作过程，它可以强烈激发学生学习数学的兴趣，使教学效果发生根本性改变，有望达成数学课程教学质量的真正提升，不失为一个数学教学改革的可选路径。

参考文献：

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