实数连续性的奥秘

孟飞

整数由小到大的变化是跳跃式的。从1跳到2，跨过了许多分数。有理数从1变到2，中间似乎没有跳跃，因为1与2之间的有理数是密密麻麻的，找不到一段空白。其实有理数从l变到2并非连续地变化，因为中间跨过了许多无理数，例如■。

有理数再添上无理数，凑成全体实数。我们说，实数是可以连续变化的。说变量x从0变到1，是说x要取遍0到1之间的一切实数。

在直线上取定一个原点，一个单位长和一个方向，直线就成了数轴。数轴上的每个点代表一个实数，每个实数都可以用数轴上的一个点表示。实数可以连续变化，就是说点可以在数轴上连续地运动。

如何精确说明这里所说的连续性的含义呢？

设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截。这一刀一定会砍在某个点上，即砍中了一个实数。如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了。

设数轴是从点A处被砍断的。这个点A在哪半截数轴上呢？答案是不在左半截上，就在右半截上。这是因为点不可分割，又不会消失，所以不会两边都有，也不会两边都没有。

从以上的假想中领会到所谓数轴的连续性，就是不管把它从什么地方分成两半截，总有半截是带端点的，而另外半截没有端点。

实数的连续性，也就可以照样搬过来：“把全体实数分成甲、乙两个非空集合，如果甲集里任一个数x比乙集里的任一个数y都小，那么，或者甲集里有最大数，或者乙集里有最小数，二者必居其一，且仅居其一。这就叫作实数的连续性。”

有理数系不满足这个条件。如把全体负有理数和平方不超过2的非负有理数放在一起组成甲集，所有平方超过2的正有理数组成乙集，则甲集无最大数，乙集也无最小数。若从甲乙两集之间下手砍一刀，就砍在缝里了。在实数系中，这个缝就是用无理数■填起来的。

这样把有理数分成甲、乙两部分，使乙中每个数比甲中每个数大，这种分法叫作有理数的一个戴德金分割，简称分割。有理数的每个分割确定一个实数。有缝隙的分割确定一个无理数，没有缝隙的分割确定一个有理数。这样建立实数系的方法是德国数学家戴德金（J.W.R. Dedekind，1831～1916年）提出来的。