多片钢板弹簧的一种新设计方法

孙建

摘要：各种车辆的钢板弹簧多半为中心受载的简支叠板弹簧，本文讨论了多片钢板弹簧的可靠性设计方法。文中应用了数理统计中的鞍点逼近理论，在基本随机参数概率分布已知的前提下，应用鞍点逼近理论，编制多片钢板弹簧的可靠性计算程序，进而迅速准确地得到了多片钢板弹簧的可靠性设计信息。

关键词：钢板弹簧；鞍点逼近；可靠性设计

前言

可靠性学科就是定量的研究产品动态质量问题的一个学科。它对推动产品的设计、分析的现代化提供了必要的理论基础和分析方法，可靠性学科所包含的内容相当广泛，重要包括三个方面：可靠性数学、可靠性物理（失效分析）、可靠性工程。本章立足于国内为外可靠性方面的文献，总结了结构可靠性的基本理论以及结构可靠性的分析方法现状。鞍点逼近是由Daniels首次提出的一种非常有效的统计近似方法，鞍点逼近理论最大的特点就是公式简洁，计算速度快，逼近效果颇高，即使在极小样本量的情况下，也能够得到良好的逼近结果，这一优点在随机变量尾概率的求解上显得更加的突出[1-3]。

本文应用鞍点逼近技术对多片钢板弹簧进行了可靠性分析，在基本随机变量概率分布已知的情况下，可以迅速、准确地得到多片钢板弹簧随机响应的概率密度函数和累积分布函数，发展了机械零部件可靠性分析理论。

1.机械零件可靠性设计的鞍点逼近法

Y=g（X）概率密度函数（PDF）可以由下式表示[4]

（1）

式中y表示的是随机变量Y的取值，K''是Y=g（X）的累积母函数的二阶导数，ts是鞍点，可以通过下式求得

（2）

式中K'表示的是Y=g（X）累积母函数的一阶导数。根据Lugannani和Rice逼近样本均值尾概率的分布的鞍点逼近公式计算结构响应的的分布函数为[5]

（3）

式中，（）和φ（）分别表示标准正态分布函数的累积分布函数的CDF和概率密度函数PDF。

2.单片钢板弹簧的可靠性分析

各种车辆的钢板弹簧多半为中心受载的简支叠板弹簧，按一定宽度b将其截开重叠使用，工作应力为

（4）

式中P为载荷，b、h和l为板簧的宽度、厚度和长度，n为板簧的钢板片数。严格的说，应该考虑叠板之间的摩擦对工作应力的影响，不过实际上采用这种近似设计方法还是允许的。

根据应力-强度干涉理论，以应力极限状态表示的状态方程为

（5）

式中r为钢板弹簧的材料强度，基本随机变量向量为X=（r， P， l， b， h）T，这里基本随机变量向量X的均值E（X）和方差Var（X）是已知的，并且可以认为这些随机变量是服从正态分布的相互独立的随机变量。

某种汽车钢板弹簧的几何尺寸为（μb，σb）= （70，0.35）mm，（μl，σl）= （1100，5.5）mm，（μh，σh）= （6.5，0.0325）mm，载荷为（μP，σP）= （5537，276.85）N，材料强度（μr，σr）= （614，45.8）MPa，n=7。利用本文提出的鞍点逼近法分析单片钢板弹簧的可靠性。

3.结论

通过随机变量为正态分布的多片钢板弹簧实例，验证鞍点逼近理论分析计算机械结构的可靠性。通过计算机程序，快速、准确的得到了结构响应的密度函数与分布函数，并通过图形对比的方式，将鞍点逼近分析的结果与Monte-Carlo分析的结果进行了直观的对比，得到的结论是，利用鞍点逼近法无论是分析多片钢板弹簧的可靠性，能得到与Monte-Carlo法非常相近的结果。

参考文献：

[1]张义民. 汽车零部件可靠性设计[M]. 北京： 北京理工大学出版社，2000.

[2]张义民， 黄贤振， 贺向东等.任意分布参数平面连杆机构运动精度可靠性灵敏度设计[J]. 机械科学与技术， 2008， 27（5）： 684-687.

[3]金雅娟等.基于鞍点逼近的陶瓷刀具磨损寿命可靠性分析2010中国机械工程21 （12）1462-146

[4]DANIELS HE. Saddlepoint approximations in statistics[J]. Ann Math Statistics 1954， 25（4）：631–650.

[5]Lugannani R， Rice SO. Saddlepoint approximation for the distribution of the sum of independent random variables.[J]. Adv Appl Probab 1980， 12：475–90.