浅析平面向量在圆锥曲线中的应用

刘金林

解决有关圆锥曲线的问题，不仅要用到圆锥曲线的定义、性质，还要了解解决圆锥曲线的常用方法。在高考数学体系中，圆锥曲线占有很重要的地位。而平面向量又是新增的内容，它体现了现代数学思想，它作为工具性知识兼具代数和几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点。而圆锥曲线对高中数学的许多知识点都有一定的亲和力。在知识网络的交汇处出题是考试命题的主导思想。因此在众多方法中，我们更应该注重平面向量在圆锥曲线问题解决中的作用。在此根据题目自身的特点归纳和总结了平面向量的坐标表示和平面向量的模在解决圆锥曲线问题中的应用。

1向量的共线的应用

1.1求相关量的取值范围

运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决。

例1：给定抛物线C： ，F是C的焦点，过点F的直线 与C相交于A、B两点，且 ，求 在y轴上的截距的变化范围。

分析：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出 在y轴上的截距，利用函数的单调性求其变化范围。

解：设 ，由 得： 即

由②得 ，因 ， ，

所以 ③，联立①③得， 。

而 ，所以 ；当直线 垂直于x轴时， ，不符合题意。

∴直线 的方程为 ，直线 在y轴上的截距为 。由 知， 在 上单调递减，所以 ，

于是直线 在y轴上的截距的变化范围是 。

评注：圆锥曲线与向量综合进行考查，试题以圆锥曲线为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置为切入点，以向量为工具，重点考查圆锥曲线的基本数学思想方法和综合解题能力。

1.2求待定字母的值

例2：已知两定点 ，满足条件 的点的轨迹是曲线E，直线 ：y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果 ，且曲线E上存在一点C，使得 ，求m的值

分析：设相关点的坐标，将题目中的向量关系代数化，联立直线和双曲线，通过韦达定理、弦长公式等进行计算。

解：由双曲线的定义知，曲线E是以 为焦点的

双曲线的左支（见图3），，且 易知 。故

曲线E的方程为： ①。

设 ，直线 的方程代入 ①

得 。又已知直线与曲线E相交与A、B两点，有 ，解得 .

又 ，整理得： ，但 ，所以 。故直线AB的方程为：

设 ，由已知 ，得 ，又

= ， ，所以点C ，将C的坐标代入曲线E的方程，得 ，但当 时，所得的点不在双曲线的左支上，不合题意，所以

评注：通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题。

1.3证明过定点问题

例3：如图4，直线 交抛物线 于 、 两点，且 ，又点M在y轴上，且M（0，-2），求证：直线AB经过M点。

解：设 、 ，因为 ，

所以 ，又 ，所以 。

要证直线AB经过M点，即需证 共线，即需

证存在非零实数 ，使得 成立，又

，

所以只需证 。

又因为

，所以 共线，即證得直线AB过M点

评注：本题以圆锥曲线为载体，证明过定点的问题，本题用了向量的共线来证明，是否可以用直线的斜率相等来证明？直线的斜率和向量之间有方向向量可以联系。

从以上的几个例子，不难发现在圆锥曲线的解题中运用平面向量的共线的相关知识，往往是依题将题目中涉及到共线的内容转化为坐标之间的代数关系，从而使问题简化。

2向量的夹角的应用

通常当圆锥曲线问题中涉及到求夹角的大小、求相关量的取值范围等内容时，往往可以考虑运用平面向量的夹角的相关知识来解决。

2.1求相关量的取值范围

例4：椭圆 的焦点为 、 ，P为该椭圆上的动点，当 为钝角的时候，求点P的横坐标的取值范围。

解： 可以看成向量 与 的夹角，由向量的数量积的定义可知：

，由于 、 为椭圆的两个焦点，所以有： 、 ， ，则 ①，又因为P点在椭圆上，所以： ，代入①得， 解得： ，所以P点的横坐标的取值范围：

3向量的数量积

向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面。

3.1探索点、线的存在性

例14：已知A、B为抛物线 上的两点，直线AB过该抛物线焦点F，且A、B在准线上的射影分别为C、D。

（1） 若 ，求抛物线的方程。

（2） 抛物线的准线上是否恒存在一点K，使得 ？

解：（1）显然过A、B的直线斜率不存在时不满足题意。故可设直线的方程为： ，代入抛物线方程，得 ，不妨设 ，所以有： ，则有， ，

则 ，所以抛物线的方程为：

（2）设线段AB的中点P在准线上的射影为T，则

.

所以存在点K，即线段AB的中点在准线上的射影，使得 成立。

结论发散1：x轴上是否存在一点K，使得 ？

结论发散2：求证：存在实数 ，使得 .

纵观以上几个例子，可以发现：在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化的目的。

通过以上相关例题的分析，我们不难得出这样一个结论：平面向量的坐标表示、模、共线、夹角、数量积等知识在圆锥曲线中的应用主要有以下几个方面：（1）求待定字母的值（2）求动点的轨迹方程（3）求相关圆锥曲线的方程（4）探索点、线的存在性（5）求相关量的取值范围（6）证明过定点问题。

平面向量的几何意义、性质、数量积等的坐标运算与圆锥曲线本身的特点（坐标化）结合比较紧密。在圆锥曲线中涉及到长度、角度、垂直等诸多问题中，如能适当的构造向量，利用向量的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。

纵观以上例题，我们可以发现：平面向量在圆锥曲线有关问题中出现往往有两种形式：一类是给出的问题中已经有平面向量出现，即可以用向量作为工具来解决圆锥曲线的相关问题；另一类是在题目中未出现平面向量的面孔，即以平面向量为载体来考察圆锥曲线等知识。当题目中出现向量时，往往我们很容易的想到用向量的有关知识将问题转化；当题目中没出直接出现向量时，我们就需要充分的挖掘题目隐含的内容，积极的与向量的有关知识进行联系，争取能运用向量这个工具来简化问题，特别是题目中出现了长度、夹角、垂直、三角形的面积、共线等内容时，往往可以运用向量来简化问题。

但是，并不是圆锥曲线中的任何问题都必须由平面向量来解决，也并不是圆锥曲线的问题用平面向量的相关知识来解决都的比较简单。