线性规划在高考中常见题型及解法

任廷美

线性规划是教材中的新增内容，纵观近几年的高考试题，线性规划的试题多以选择题、填空题出现，但部分省市已出现大题，分值有逐年加大的趋势。简单线性规划正在成为一个高考热点。认真分析研究近年各地高考试卷，可以发现这部分高考题大致有以下几种类型。

一、求线性目标函数的最值及取值范围

例1、[2014.全国卷Ⅱ]设x，y满足约束

条件，则z=2x-y的最大值为（ ）

A. 10 B. 8 C. 3 D. 2

【解析】画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2x-y在两条直线x-3y+1=0与x+y-7=0的交点（5，2）处，取得最大值z=8。故选B。

点评：本题主要考查线性规划求最值， 同时考查学生的作图能力，数形结合思想及运算求解能力，关键由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值，是高考常考题型。

变式：设x，y满足约束条件：，则z=x-2y的取值范围 。

点评：求线性规划目标函数的取值范围，从而转化为线性规划目标函数求最值问题。

二、求约束条件中参数的取值

例2、[2013.全国卷Ⅱ]已知a>0，x，y满足约

束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）。

A. B. C.1 D.2

【解析】：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x+y=1，因为直线2x+y=1，与直线x=1的交点坐标为（1，-1），结合题意知直线过点（1，-1），代入得，所以。故选：B

点评：本题是线性规划的综合应用，解决这类问题的关键是利用树形结合的思想方法，给目标函数赋予一定的几何意义。

变式：在约束条件下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（ ）

A.[6，15] B. [7，15] C. [6，8 ] D.[7，8]

【解析】：画出可行域如图所示，当3≤s<4时，目标函数z=3x+2y在B（4-s，2s-4）处取得最大值， 即zmax=3（4-s）+2（2s-4）=s+4∈[7，8）；

当4≤s≤5时， 目标函数z=3x+2y在点E（0，4）处取得最大值，

即zmax=3×0+2×4=8，故z∈[7，8]，从而选D。

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。

三、目标函数含参数求最值

例3、[2013年.浙江高考]设z=kx+y，其中实数x，y满足

若z的最大值为12，则实数k= 2 。

【解析】：已知不等式组可表示成如图的可行域：

（1）当时，直线y=kx+z经过点M（4，4）时z最大，所以4k+4=12，得k=2（舍去）；

（2）当时，直线y=-kx+z经过点N（2，3）时z最大，

所以2k+3=12，解得 （舍去）；

（3）当-k<0时，直线y=-kx+z经过点M（4，4）时z最大，所以4k+4=12，解得k=2，符合条件，

综上可得：k=2

点评：本题设计有新意，作出可行域，目标函数的最大值转化直线y=-kx+z截距的最大值问题，关键讨论斜率情况判断出最优解的点是求解的关键。

变式：记不等式组，所表示的平面区域为D。若直线y=a（x+3）与D有公共点，则求a的最大值 。

【解析】画出可行域如图所示，直线y=a（x+3）恒过点（-3，0），而a的几何意义是直线的斜率，求a的最大值转化为在平面区域D找一点与（-3，0）的连线斜率的最大值。

点评：作出可行域，关键是了解直线恒过定点而a的几何意义是直线的斜率。

四、求可行域的面积

不等式组表示的平面区域的面积为（ ）

A.4 B.1 C.5 D.无穷大

【解析】如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，故选：B

点评： 求可行域的面积的求解关键是准确作出可行域，再求解面积。

五、求非线性目标函数的最值及取值范围

例4、[2014.青岛质检]设变量x，y满足约束条件：，则目标函数的最小值为 。

【解析】如图，只要画出满足约束条件的可行域，而目标函数的几何意义是区域内的点与点p（0，-1）连线的斜率。显然图中AP的斜率最小，由解得点A的坐标为（2，1），故目标函数的最小值1. 答案：1

例5、已知x，y满足以下约束条件则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（ ）

A、13 ，1 B、13 ，2 C、13， D、，

【解析】：如图，只要画出满足约束条件的可行域，而x2+y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A（2，3）是满足条件的最优解，即|AO|2=13。最小值为原点到直线2x+y-2=0的距离的平方，即为，故选C

点评：解决非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

（作者单位：贵州省遵义市余庆县余庆中学）