利用Venn图巧解集合问题

许万成

Venn图是表示集合的一种方式，它在表示集合关系以及有关集合运算中有非常大的作用。在解决有关集合问题时，若能够借助Venn图进行分析，往往能够将问题直观化、形象化，从而快速、准确地解决问题。现结合实例来说明Venn图在集合问题求解过程中的应用。

一、在判断集合间的关系中的应用

例1 设U是全集，集合A、B满足，有下面的结论：①。其中正确的有_______。

分析：本题实质上为多选题，多选或漏选都不正确，这就增加了题目的难度。如果根据题目中的条件直接判断，不容易得出正确的答案。若借助Venn图求解，问题就可以迎刃而解了。

解：根据题意，画出如图1所示的Venn图。

根据图1，可以判断①②③均为正确的结论。

答案为：①②③。

评析：在判断两个集合的关系时，Venn图是强有力的工具之一，同学们要学会使用Venn图来表示集合。

二、在表示集合运算中的应用

例2 设全集，若{9}，求集合A，B。

分析：本题中条件较多，直接分析条件不易求出集合A、B，此时可以利用Venn图来分析，帮助我们解决问题。

解：U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}。

由，可知元素1、5、7均属于A，且 1、5、7均不属于B。

由，得元素3既在集合A中又在集合B中，元素9既不在集合A中义不在集合B中。

如图2，在Venn图中标出1、5、7、3、9这五个元素的位置。

由图2可知：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8）。

评析：对于复杂的集合运算题目，借助Venn图可以把每一个部分的关系很清楚地表示出来，然后问题就可以顺利地求解了。

三.在实际问题求解过程中的应用

例3 某班级有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学、物理小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有_____人。

分析：本题中的数量关系较为复杂，不容易从中找出线索，因此可以借助Venn图形象地表示出各数量关系。

解：由题意知同时参加三个小组的人数为O，设同时参加数学、化学小组的人数为x，如图3所示，则20-x+6+5+4+9-x+x=36，解得x=8。

故同时参加数学和化学小组的有8人。

评析：在实际问题解决过程中，Venn图可清晰地表达各要素之间的关系，为方便、快捷地解题提供形象化的思路。

Venn图是课本中介绍的三种表示集合的方式之一，同学们对于列举法和描述法可能因为经常需要使用所以比较重视，对于Venn图这种表示方式可能就会忽略了。通过上面的例子，我们可以发现：其实Venn图在解题中也是十分重要的。因此，希望同学们在学习的过程中重视Venn图的应用，只有掌握了这个知识点，才能灵活运用从而达到优化解题的目的。