一道弹簧问题的变式训练

胡冰琳

【摘要】弹簧问题是高考考查的热点，通过一题多变把看似不同类型的弹簧问题进行整合，达到做一题通一类题目。

【关键词】弹簧问题  变式训练

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0128-01

弹簧问题是高考考查的热点，在一道题目中往往考查的知识点很多，学生在解这类问题感到困难，甚至无从下手。本人在高三复习课中为学生设计了一堂习题课，通过这堂习题课的教学能够让学生对看似不同类型的问题进行整合，从而达到对弹簧问题的应用，达到做一题通一类题目，也避免搞题海战术，又能提高学习效率。

例：一弹簧秤秤盘的质量不计，盘内放一质量M=12 kg的物体P，轻弹簧的劲度系数k=800 N/m，整个系统处于静止状态，如图1 所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值。（取g=10 m/s2）

解  设初始时刻弹簧压缩x0

kx0=Mg     ①

对于0～0.2 s时间内P的运动有

x0=at2    ②

联立①②代入数据的a=7.5m/s2

在初始位置，拉力最小Fmin=Ma=90N

在弹簧原长，拉力最大Fmax=M（g+a）=210N

点评：本题由于秤盘不计质量，物体P与秤盘在弹簧原长分离。从题中可挖掘出在0.2s内F是变力，0.2s后是恒力，再利用運动学和牛顿第二定律求解。

变式1：一弹簧秤秤盘的质量m1=1.5kg，盘内放一质量m2=10.5kg的物体P，弹簧的质量不计，其劲度系数k=800N/m，整个系统处于静止状态，如图1 所示。现给P施加一个竖直向上的力F，使P从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在最初0.2 s内F是变化的，在0.2 s后是恒定的，求F的最大值和最小值.（取g=10 m/s2）

解： 初始时刻弹簧的压缩量为X0

kx0=（m1+m2）g    ①

设秤盘上升高度x时P与秤盘分离，分离时刻有

k（x0-x）-m1g=m1a    ②

对于0～0.2 s时间内P的运动有：

x=at2     ③

联立①②③解得x=0.12m，a=6m/s2

故在初始位置处，拉力有最小值Fmin=（m1+m2）a=72N

分离时刻拉力达到最大值Fmax=m2（g+a）=168N

点评：本题的变式变在由于秤盘有质量，物体P与秤盘的分离点在弹簧的压缩阶段，要抓住分离的临界点为物体P和秤盘的相互作用力为零。

变式2：如图2所示，木块A、B的质量分别为0.42kg和0.40kg，A、B叠放在竖直轻弹簧上，弹簧的劲度为k=100N/m。今对A施加一个竖直向上的拉力F，使A由静止开始以0.50m/s2的加速度向上做匀加速运动（g=10m/s2）。求：⑴匀加速过程中拉力F的最大值。⑵如果已知从A开始运动到A与B分离过程，弹簧减少的弹性势能为0.248J，那么此过程拉力F对木块做的功是多少？

解析：设A、B叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x

kx=（mA+mB）g    ①

对A施加F，设A、B之间的弹力为N，弹簧压缩xB

对A  F+N-mAg=mAaA       ②

对B  kxB-N-mBg=mBaB     ③

可知，当N≠0时，AB有共同加速度。由②式可知使A匀加速运动，随N减小F增大。当N=0时，F取得了最大值Fm

即Fm=mA（g+aA）=4.41N

当N=0时，A、B开始分离，由③式知此时，

kxB-mBg=mBaB   ④

AB共同速度v2=2aA（x-xB）     ⑤

设F做功W，对这一过程应用动能定理

W+Ep-（mA+mB）g（x-xB）=（mA+mB）v2    ⑥

联立①④⑤⑥解得W=9.64×10-2J

点评：本题的变式变在增加用能量的观点求力F做的功。

变式3 ： 如图3所示，一质量为m的物块A与直立轻弹簧的上端连接，弹簧的下端固定在地面上，一质量也为m的物块B叠放在A的上面，A、B处于静止状态。若A、B粘连在一起，用一竖直向上的拉力缓慢上提B，当拉力的大小为时，A物块上升的高度为L，此过程中，该拉力做功为W;若A、B不粘连，用一竖直向上的恒力F作用在B上，当A物块上升的高度也为L时，A与B恰好分离。重力加速度为g，不计空气阻力，求：

（1）恒力F的大小;

（2）A与B分离时的速度大小。

解：设弹簧劲度系数为k，A、B静止时弹簧的压缩量为x，2mg=kx    ①A、B粘连在一起缓慢上移，以A、B整体为研究对象，当拉力时+k（x-L）=2mg    ②

A、B不粘连，在恒力F作用下A、B恰好分离时，以A、B整体为研究对象，根据牛顿第二定律

F+k（x-L）-2mg=2ma   ③

以B为研究对象，根据牛顿第二定律F-mg=ma    ④

联立①②③④解得F=mg    ⑤

（2）A、B粘连在一起缓慢上移L，设弹簧弹力做功为W弹，根据动能定理

W+W弹-2mgL =0   ⑥

在恒力F作用下，设A、B分离时的速度为v，根据动能定理 FL+W弹-2mgL=2mv2    ⑦

联立⑤⑥⑦解得v=

点评：本题变式变在A、B两物体存在粘连和不粘连两个过程，针对两个过程会综合运用平衡知识，牛顿运动定律和功能关系进行求解。

从上面4个题目中，我们可以看到在看似不同的弹簧类习题中会出现相同的解题思路，在平时的课堂教学中我们有意识地加强这方面习题的讲解，可以让学生跳出题海，提高学习效率，同时也能够由浅入深，在茫茫的题海中找到一些解题技巧，提高学生的学习兴趣。