例谈二阶导数在求解高考函数压轴题中的优越性

2015-05-30刘兴福

课程教育研究 2015年8期

关键词：高考

【摘要】“函数与导数”是历年高考的常考题型，也是压轴题，其主要考查考生利用导数研究函数的单调性及不等式恒成立等问题。而在部分高考试题中，对函数进行求导后，并不能较清晰、快速的判断导函数的符号，进而难以判断函数的单调性，而若继续对导函数再求导，利用二阶导数研究一阶导数，进而解决问题则较为容易。本研究以几道高考函数压轴题为例，展现二阶导数在解决此类问题中的优越性。

【关键词】二阶导数高考函数压轴题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）08-0098-01

一、例1.（2015年新课标全国卷Ⅱ理数，21题）设函数f（x）=emx+x2-mx.

（Ⅰ）证明：f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增;

（Ⅱ）若对于任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤e-1，求m的取值范围。

解：（Ⅰ）解法一：f'（x）=m（emx-1）+2x。

（1）若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1≤0，f'（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1>0，f'（x）>0.（2）若m<0，则当x∈（-∞，0）时，emx-1>0，f'（x）<0;当x∈（0，+∞）时，emx-1<0，f'（x）>0.所以，f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

解法二：由解法一，f''（x）=m2emx+2.∵f''（x）>0恒成立，∴f'（x）在R上为增函数。又∵f'（0）=0，∴当x∈（-∞，0）时，f'（x<0）;当x∈（0，+∞）时，f'（x）>0。即f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。

（Ⅱ）略。

两种解题方法相比，方法二利用二阶导数证明函数的单调性，避开了对m的分类讨论。

二、例2.（2013年新课标全国卷Ⅱ理数，21题）已知函数f（x）ex-ln（x+m）。

（Ⅰ）设x=0是函数f（x）的极值点，求m，并讨论f（x）的单调性;

（Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0。

解：（Ⅰ）由x=0是函数f（x）的极值点可得m=1。于是f（x）=ex-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），f'（x）=ex-，f''（x）=ex+。∵f''（x）>0，∴f'（x）在（-1，+∞）单调递增。又∵f'（0）=0，∴当x∈（-1，0）时，f'（x<0）;当x∈（0，+∞）时，f'（x）>0。

所以f（x）在（-1，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增。（Ⅱ）略。

此题中，对一阶导数的符号是难以判断的，利用二阶导数则显得清晰易懂。

三、例3.（2010年全国Ⅰ理数，20题）已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1。

（Ⅰ）若xf'（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围;

（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0。

解：（Ⅰ）略.（Ⅱ）方法1：由（Ⅰ）可得lnx-x+1<0。

當0

方法2：f'（x）=■+lnx，f''（x）=-■+■=■.令f''（x）=0得x=1.

∴当 x∈（0，1）时，f''（x）<0，f'（x）单调递减;当x∈（1，+∞）时，f''（x）>0，f'（x）单调递增。∴f'（x）在x=1处取得最小值，且f'（1）=1>0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增。

∴当x∈（0，1）时，f（x）f（1）=0.∴（x-1）f（x）≥0.

两种方法相比，方法1是通过巧妙性地构造条件，然后运用（Ⅰ）的结论，但此法却较为困难，而若利用二阶导数来解决，则解题思路更加清晰，更加容易理解。

四、例4.（2010年新课标全国卷Ⅰ理数，21题）设函数f（x）=ex-1-x-ax2。