用高数的眼光看初数

时书音　张若男

摘要 介绍高等数学与初等数学的联系，并举例说明高等数学解决初等数学的方便快捷。

关键词 高等数学 初等数学

在高等数学的学习中存在以下两个方面的问题：一方面由于初等数学难以与高等数学直接衔接，使不少学生一接触到高等数学就开始头痛，另一方面，由于高等数学理论与初等数学教学需要严重脱节，许多高师毕业生对如何用高等数学知识指导初等数学教学感到茫然。

一、高等数学知识与初等数学的联系

初等数学讲多项式的运算法则而高等数学在拓宽多项式的含义，严格定义多项式的次数及加法、乘法运算的基础上，接着讲多项式的整除理论及最大公因式理论。

初等数学讲一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根与系数的关系。高等数学接着讲一元次方程根的定义，复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数，实系数一次方程根的特点，有理系数一元次方程有理根的性质及求法，一元次方程根的近似解法及公式解简介。

初等数学学习的整数、有理数、实数、复数为高等数学的数环、数域提供例子。初等数学学习的有理数、实数、复数、平面向量为高等数学的向量空间提供例子。初等数学中的坐标旋转公式成为高等数学中坐标变换公式的例子。

初等几何学习的向量的长度和夹角为欧氏空间向量的长度和夹角提供模型，三角形不等式为欧氏空间中两点间距离的性质提供模型，线段在平面上的投影为欧氏空间中向量在子空间的投影提供模型。综上所述可知，高等数学在知识上的确是中学数学的继续和提高。它不但解释了许多中学数学未能说清楚的问题，如多项式的根及因式分解理论、线性方程组理论等，而且以整数、实数、复数、平面向量为实例，引入了数环、数域、向量空间、欧氏空间等数学系统。这对用现代数学的观点、原理和方法指导初等数学教学是十分有用的。

二、高等数学的优越性

在学习高等数学时，从方法上要和初等数学进行比较。例如选择一些既可以用高等数学又可以用初等数学解决的问题，分别采用两种方法解答。通过对比性我们就会体会到知识的相关性，激发学习的兴趣，还提高我们的理解能力和认识水平。如证明三角形中位线定理、三角形三线定理，平行四边形对角线相互平分定理等等，除利用初等数学方法证明之外，还可以利用解析几何学中向量法证明。正弦函数的递增性，中学对这一问题是通过观察图象直观描述的，没有给出理论上的证明，可以说是在中学阶段没有得到充分解决的问题。而在高等数学中，则通过求导数判定函数在某个区间上的递增性的方法来解决。

三、导数在初等数学中应用

导数是高等数学的主要内容之一。用导数解初等数学题简便易行，不需要多大技巧，而且适用面较宽。特别是用导数讨论函数的单调性时，均无需多大技巧，且过程简单，只需要求出导函数然后判断符号就可以啦，若用初等数学知识讨论，需要一些技巧，且解法要繁琐，困难很多。由此可知，利用导数求单调区间，其解题方法固定，它比用单调性的证明要简单也容易理解与掌握。

四、二则的区别

在初等数学中初步萌生的若干数学观念，包括数学研究的对象，数学研究的特点等，在高等代数中将得到深化和发展。关于数学研究的对象，由初等数学研究的数、代数式、方程、函数等内容，初等几何研究的点、线、面、常见图形等内容，不难看出：数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式。然而这个观念在高等代数等后继课程中却不断受到冲击。首先，集合的包含关系，多项式的整除关系，向量的线性关系，矩阵的等价、相似、合同关系己不再是传统意义下的数量关系。其次，向量空间、欧氏空间也不再局限于有直观意义的空间形式。高等代数等近、现代数学课程都说明：数学是一门应用抽象量化方法研究关系、结构、模式的科学。这一新的观念对于指导中学教改是至关重要的。关于数学研究的特点，人们普遍认为是抽象性、严谨性和应用的广泛性，然而仅从中学数学是很难深刻体会到这些特点的。首先看抽象性。中学数学中，从用字母表示数，诸多数学概念的形成已使学生初步体会到抽象的含义和作用。但是对数学科学如何借助于抽象而不断发展却知之甚微，通過高等代数等后继课程的学习，这样的例子就渐渐多了起来。

高等数学许多内容的知识背景源于初等数学，在课程教学改革实践中，不仅要挖掘知识体系方面的联系，更要挖掘数学思想方法、数学观念方面的联系。高等数学应用于初等数学并不是简单的一题多解，而是一种知识的融会贯通和发展学生的发散和联想思维。高等数学是现代数学中一个重要的分支，是在初等数学的基础上研究对象进一步的扩充。高等数学是初等数学的进化。高等数学不仅是初等数学的延拓，也是现代数学的基础，只有很好的掌握高等数学的基础知识才能适应数学发展和教材改革。高等数学知识在开阔视野，指导中学解题等方面的作用尤为突出。在许多问题中，如果我们能用高等数学知识解决一些初等数学中的问题，将命题转化为一般性的问题进行解决，往往能收到事半功倍的效果，使人耳目一新。