带年龄结构传染病模型的稳定性研究＊

王鸿章， 梁聪刚， 王军民

（1.平顶山学院 数学与信息科学学学院，河南 平顶山467000；2.河南财经政法大学 数学与信息科学系，河南 郑州450002）

多数作者讨论不同的年龄结构的流行病模型时，都是假设感染率函数和染病人群成正比［1～7］.本文主要讨论的是感染率函数和染病人群与潜伏期人群占总人口的比率成正比的传染病模型，应用偏微分－积分方程的理论，证明了该模型解的稳定性.

1 一类时间疾病模型（P）

为了讨论方便，给出以下符号说明：A表示活到的最高年龄，t表示时刻，r表示年龄，s表示病期；m1（r，t）、λ（r，t）、μ1（r，t）、N1（r，t）、p1（r，t）＝则分别表示健康人口的出生率、发病率、死亡率、人口总数、年龄密度；m2（r，t）、η（r，s，t）、μ2（r，s，t）、p2（r，s，t）＝则表示染病人口的出生率、发病率、死亡率、病期密度.

2 模型解的稳定性

将（4）的两边对s从0到r积分，得：p2（r，0）＝p2，0（r）.于是我们讨论的系统P变为系统 Q：

这里p2（r，t）表示疾病人口的年龄密度函数，定义μ（r，t），m（r，t）满足：

这里p（r，t）表示整个人口的年龄密度函数.将系统（Q）的前两个方程相加，得系统（R）：

由m1（r，t）和m2（r，t）的假设可知存在β（r，t），使得：

则如下的系统R′：

的解p′（r，t）是唯一存在的，在β（r，t）小于临界生育率时，p′（r，t）有界.

比较系统（R）和（R′），用比较定理知：p（r，t）＜p′（r，t）.所以系统（R）的解也是有界的.我们将系统（Q）分为两个子系统（Q1）和（Q2）.（Q1）如下：

因此（Q1）变为其解为：

现在来讨论系统Q的另一子系统（Q2）：

其解为：

将p1（r，t）与p2（r，t）两式相减得：

此处：

令ψ（y，r，t）＝0，则

ψ＝0等价于：

或

定义1 定义临界得病率函数（接触率函数）λc为：

则表达式（9）成立，当且仅当λ＝λc或η＾＝η＾c成立.

我们讨论如下几种情形：

1）令0＜λ（r，t）≤λc（r，t），且

易知此时必有：当t→＋∞时，λ（r，t）→0，于是：

因此，有：

定理2 假设（14）成立，则必有（15）成立，即子系统（Q2）是渐近稳定的，也就是说疾病是可以完全治愈而消亡的.

则由上式，知η＾（r，t）→＋∞（当t→＋∞时）.从而当t→＋∞，

因此，有：

定理3 假设条件（16）成立，则必有（17）成立.说明子系统（Q2）是渐近稳定的，即疾病最终可以被治愈而消亡.

3）令

由（18）及（19）知t→＋∞时，λ（r，t）→＋∞.根据t＞A 时，

知p1（r，t）→0（t→＋ ∞）.又p（r，t）是有界的，即：O ＜m ≤｜p（r，t）｜≤M ＜＋∞ ，a，e于QT.从而

定理4［4］假设条件（18）和（19）成立，则（20）成立，这表明子系统（Q2）是稳定的，但不渐近稳定，即疾病不可能大范围爆发，但也不能被完全治愈而消亡.

［1］徐文兵.某些传染病系统的建模、分析与控制研究［D］.北京：北京信息控制研究所，2005.

［2］由守科，闫萍.一类具有潜伏期和染病年龄的SEIR传染病模型［J］.新疆大学学报（自然科学版），2010，27（3）：288－297.

［3］杨小平.状态依赖的脉冲微分方程模型的最优周期控制策略［J］.河南科学，2013，31（3）：262－264.

［4］唐文艳，焦建军.具脉冲扩散效应的Gomportz种群动力学模型研究［J］.湘潭大学自然科学学报，2013（2）：10－13