多险种复合广义齐次Poisson过程的破产概率

杨忻怡? 王志福 张拓

【摘 要】破产概率的计算是精算破产理论的经典问题，对当前保险经营风险的度量有重要的理论意义和参考价值。由于保险公司规模的不断扩大，用单一的风险模型来描述风险过程存在局限性。本文建立了复合广义齐次Possion过程的风险模型，并对其索赔过程的性质进行了研究，讨论了此模型的破产概率从而求出Lundberg上界和破产概率的一般表达式。

【关键词】多险种风险模型 破产概率 Poisson过程

在保险风险理论中，经典模型[1]可由下式表示出来：

，

其中初始准备金为 u，保费收入率为c，至时刻t发生的索赔次数为 ，表示第i次索赔的索赔额为 ， 其中ct为截止时刻t保险公司的保费总收入， 为索赔支付总额， 为总盈余，风险过程的研究主要是根据索赔过程的直接假设[2]而研究的，在文献（3）中，作者第一次提出基于进入过程的新的风险模型，并且精确地刻画了保险公司的风险行为，通过研究这种思想，本文研究了复合广义齐次possion过程的风险模型和索赔过程的性质，并讨论此模型的破产概率从而求出Lundberg上界和破产概率的一般表达式。

1 多险种的风险模型

在保险的实务中，保险公司为了满足各种类型顾客的需求会提供多种保险产品，从而提高公司的收益，此模型把保单的有效期，险种，保费相结合，提出了一个多险种的复合风险模型，初始准备金为 ，至时刻 第 类险种的投保次数为 ， 为第 类风险的第 次投保量， ，且 。 为第 类风险单位时间内收到的保费， 为第 类风险的第 次索赔随机分布变量， 独立同分布，且分布函数为 。至时刻 保险公司的 类风险索赔支付总额为 ，然后盈余过程可以表述为：

U（t）=u+ - （1）

引理1 复合广义poisson模型可转换为经典复合poisson模型，即有

其中 独立同分布，且分布函数 。

由引理1，所建模型（1）式可以改写为

U（t）=u+ - （2）

其中 。

为研究破产概率，作以下假设：

是一强度为 的poisson过程。

相互独立。

令 ，根据假设，有

=

=

=

定义1 ：

（1） 破产时刻： =

（2） 最终破产概率：

2 破产概率的估计

定理1：对于风险过程 ，存在函数 ，使得

，

其中 为 的矩母函数。

证明 因为

，

定理自然成立。

定理2：方程 存在唯一正解R，R为调节系数

证明：

又 ， ，所以 为凸函数，从而方程 至多有两个解。显然 是平凡解，所以方程 有唯一正解，记为R.

定理3：对于盈余过程 ，令 ， ， ， ， ，则 是鞅，其中 。

证明： 对于任意 ，有

证毕。

定理4：考虑复合广义Poisson过程的多险种模型（1），其破产概率为 （其中R为调节系数）。

证明： 记 对于任意时刻 ，则 是 的停时，根据鞅的停时定理[4]，有

（4）

以 表示集合A的示性函数有

由于 ，根据强大数定理得到当 时 进而由控制收敛定理得到

结合（4）得到

另一方面

=

从而

当 时得

，取 ，则复合广义poisson过程的多险种模型（1）的破产概率满足Lundberg不等式 。

证毕。

参考文献

[1] 陈世学.严颖 译.GERBER H U.数学风险论导引[M].北京：世界图书出版公司北京公司，1997；129-171.

[2]EMBRECHTS P.KLUPPELBERG C.MIKOSCHT.Modelling Extremal Events for Insurance and Finance[M]. Berlin： Springer Verlag，1997： 28-34.

[3]LI Ze-hui ZHU Jin-xia，CHEN Feng. Study of a risk model based on the entrance process [J].Statistics and Probability Letters，2005，72；1-10.

[4] 何声武，谢盛荣，程依明 译.ROSS S M.随机过程[M].北京：中国统计出版社，1997：265-270.

作者简介：杨忻怡（1990—），女，辽宁铁岭人，渤海大学数理学院硕士研究生，研究方向：应用数学（概率论与数理统计）。