外生减排政策约束下企业最优生产决策分析

涂 强，李炳丽

(天津大学 管理与经济学部，天津300072)

近年来，全球气候变暖的趋势正在改变人类的生活习惯，成为全人类共同应对的重大挑战之一。而由化石燃料燃烧所产生的人为排放的温室气体，如CO2，是全球气候变暖的主要原因之一(IPCC 2007)。为此，世界主要经济体纷纷采取减少CO2排放的措施，其中以税收和限额为主的减排政策得到了广泛应用。但从企业层面来看，无论是自行减排还是引入减排政策都会增加企业的成本，导致产品价格上涨、产出下降，短期内对其行业竞争力产生影响。因此企业在减排政策下的生产决策问题无论对于宏观层面国家整体减排形势还是对于企业自身利润方面，都是一个迫切需要解决的问题。

国外学者对于该问题的研究主要集中在碳税、碳交易等不同减排政策对企业生产决策的影响上。一些研究从企业角度出发，分析政府碳减排政策外生时的企业生产决策。PENKUHN［1］等在企业生产决策中考虑了碳排放税，得出了企业的最优产量与碳排放税之间的关系。LETMATHE等［2］在PENKUHN 研究的基础上考虑了企业在确定需求时以及不同类型的环境约束下的最优产品组合和生产决策问题。BENJAAFAR［3］、HUA［4］和LI［5］等引入企业库存管理问题，分析了企业在政府减排政策下的最优生产决策。ZHANG 等［6］研究了企业在cap -and -trade 政策下的生产决策问题，分析了碳配额价格对企业产量、利润等的影响。HOEL［7］和SINCLAIR［8］在企业利润满足最大化的条件下，考虑了碳税对于企业产量的影响，利用不同模型求得最优碳税率以及最优产量。RUBIO［9］等在企业追求自身利润最大化的提前下考虑了社会福利最大化，并考虑了企业产量与碳税率之间的关系。

国内学者也对减排政策下的生产决策问题进行了研究。杨亚琴等［10］建立了基于强制减排机制下企业生产的优化模型，得出了企业在强制减排机制下的最优生产决策。聂华林等［11］构建了一个代表性能源企业的二氧化碳减排效应模型，并分析了不同碳税政策下企业的价格变化和生产决策。

从现有的国内外对于外生减排政策下的生产决策问题研究来看，分析单一碳减排政策对企业产量影响的文献相对较多，但很少有研究将几种碳减排政策结合起来分析企业生产决策问题。

因此笔者构建了一个最优控制模型，研究企业在追求利润最大化时，在政府制定的由碳税和碳限额组成的混合政策下的生产决策问题，并进一步考虑了政府在制定碳限额时间点不固定的条件下给予企业补贴的情况。为了深入分析企业在外生减排政策下的最优生产决策，笔者分别比较了企业在单一碳税政策、单一碳限额政策和混合政策下的最优生产决策。

1 最优控制模型

1.1 问题描述与假设

笔者以一个生产单一产品的企业为例。政府为控制企业的CO2排放，对该企业征收碳税，并对企业设定碳排放限额，即指定时期内排放量不能超过排放限额。若企业提前完成减排目标，则得到相应的补贴奖励;否则，政府对企业进行惩罚。模型中符号定义如下：

q(t)为t时刻的产量;p(t)为t时刻的产品价格;C(q(t))为产品生产成本;M(t)为t时刻的CO2排放量;α 为产品CO2排放率，即企业单位产量的CO2排放量;X为政府征收的碳税率，即政府对企业每单位CO2排放量的征税;S为政府补贴(惩罚)率，即政府对企业提前(延后)完成碳排放目标的补贴(惩罚);M1为企业初始的CO2排放量;M2为政府制定的碳限额;T为政府规定的生产决策期限;tf为企业达到排放目标的时间;ρ 为折现率。

上述参数必须满足某些条件，才能使建立的模型有实际意义，因此假设如下：

假设1 企业生产单一产品，且在产品市场中为垄断企业，则产品价格为p(t)=a-bq(t)，其中a为消费者固定需求，b为消费者需求偏好。

假设2 企业的产品生产成本为C(q(t))=c1q(t)+c0，其中c1为边际生产成本，c0为固定成本，由于模型中不涉及对成本变化的讨论，故假设c1和c0均为常数。

假设3 政府的补贴(惩罚)函数为：φ(tf)=S(T-tf)。若企业在规定时间T之前完成减排目标，获得补贴S(T-tf)，否则企业付出S(T-tf)作为惩罚。

假设4 企业CO2排放动态方程为：

其中，M(t)是企业生产过程中累计的CO2排放量。

1.2 混合政策模型

通过以上假设，建立企业在碳限额与碳税混合政策下，企业生产决策的最优控制模型如下：

由Pontryagin 极大值原理可得哈密顿函数：

其中，λ 为哈密顿函数的伴随变量。由式(2)可知模型极值的必要条件为：

由于伴随变量λ 的终端值未知，故假设λ(tf)=β，可得边界条件：

其中，伴随变量λ 的终端值β 可由式(5)确定：

其中，H［M(tf)，q(tf)，λ(tf)，tf］为哈密顿函数H在最优轨线终端处的值。

1.3 碳税政策模型

由于没有碳限额约束，企业没有碳限额完成时间要求和相应的补贴，因此，单一碳税政策下企业生产决策的最优控制模型如下：

与式(1)求解方法相同，利用Pontryagin 极大值原理可以求得企业最优生产决策。

1.4 碳限额政策模型

由于企业没有碳税政策约束，目标函数中没有碳税成本，因此，单一碳限额政策下企业生产决策的最优控制模型如下：

与式(1)求解方法相同，利用Pontryagin 极大值原理可以求得企业最优生产决策。

2 模型分析

根据Pontryagin 极大值原理，分别求出企业在3 种不同减排政策下的最优产量，并分析碳税率、补贴率和碳限额对企业产量决策的影响。

结论1 模型式(1)的最优生产决策为：

模型式(6)的最优生产决策为：

岩棉复合型保温模板作为一种新型外墙保温模板，其具有技术优势如下：① 模板免拆除，岩棉复合型保温模板直接与外墙混凝土浇筑为一个整体，可作为永久性构件使用；② 安全使用性，模板通过连接件与建筑结构构件进行有效连接，有效规避了传统外墙保温材料在后期使用过程中脱落的问题；③ 防火等级高，模板的组成材料均不具有可燃性，且耐火等级高，模板在施工中及后期使用中都不存在火灾安全隐患；④ 施工效率高，外墙浇筑与外墙保温两道施工工序合二为一，降低了施工难度，缩短了施工周期；⑤ 饰面作业便捷，岩棉复合型保温模板表面平整，可直接在模板表面进行外墙饰面作业。

模型式(7)的最优生产决策为：

最优生产决策式(8)和式(9)随时间增加而递增，而生产决策式(10)随时间增加而递减。由式(5)，式(1)和式(7)伴随变量的终端值分别为：

根据式(4)可以确定式(1)和式(7)的终端时间t1和t2，且满足t1＜t2＜T。

证明 由模型式(1)中的边界条件式(4)可得哈密顿函数为：

由边界条件M(0)=M1，M(tf)=M2，可得：

联立式(11)和式(12)，可求出式(1)最优生产决策式(8)。同理可证式(6)和式(7)的最优生产决策式(9)和式(10)。通过对式(1)、式(6)和式(7)的伴随变量λ 的比较，可以得出终端时刻t1＜t2＜T。

结论2 企业在混合政策下CO2排放量为：

企业在单一碳限额政策下的CO2排放量为：

证明 对于企业在混合政策下的CO2排放量可以通过边界条件求出，边界条件为：

其中，λ 满足边界条件式(4)，可得式(13)。式(14)和式(15)可通过相同方法求出。

3 数值模拟

针对已建立的模型及相关性质和结论，采用Matlab7.0 软件进行算例分析，并通过对碳税率、补贴率和碳约束进行灵敏度分析，比较不同政策条件下企业的生产决策。具体参数设定如下：

图1 显示了企业在3 种不同减排政策下最优产量的时间路径。由图1 可以看出，企业产量在混合政策和在单一碳税政策下都随时间增加而递增，且企业在单一碳税政策下的产量大于在混合政策下的产量。企业在单一碳限额政策下的产量随时间递减，由于碳限额政策为企业制定了排放上限，企业需要通过减少产量来减少排放量，因此企业在碳限额约束下产量下降。其结果与结论1 一致。

图2 显示了企业在3 种不同减排政策下最优CO2排放量的时间路径。由图2 可以看出企业在单一碳税政策下由于没有碳限额约束，CO2排放量比企业在混合政策和单一碳限额政策下都要大。由于没有排放限额，企业在单一碳税政策下的生产决策时间为政府规定的决策期限，故大于企业在另外两种政策下的生产决策时间。在混合政策下企业的生产决策时间小于在碳限额政策下企业的生产决策时间。其结果与结论1 与结论2一致。

图1 3 种不同减排政策下企业的生产决策

图2 3 种不同减排政策下企业的CO2 排放

图3 显示了企业在混合政策下不同碳税率对最优产量的影响。由图3 可以得出，企业在混合政策下，随着碳税率的提高，企业的生产决策有较大的变化。当碳税率较小时，产量随时间增加而递减，而当碳税率较大时，产量随时间增加而递增。在单一碳税政策下，企业最优生产决策随碳税率增加而减少。

图3 混合政策下不同碳税率下的企业生产决策

4 结论

通过构建企业利润最大化的动态最优控制模型，研究了在碳税和碳限额混合政策、单一碳限额政策，以及单一碳税政策下企业的生产决策问题，并通过数值模拟验证了结论的有效性，并对相应参数进行了灵敏度分析。

通过对分析模型的数值模拟可得如下结论：①单一碳限额政策下产量下降，而企业在混合政策下产量上升，由此可见在单一碳限额政策下引入碳税政策会使企业产量上升，产品价格下降。②在混合政策下碳税率较小时，企业会降低产量以提高价格，增加收入;而当碳税率较高时，企业会通过增加产量来增加利润，同时缩短达到碳限额的目标时间，获得碳限额补贴。

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