脉冲力末端修正追踪制导律稳定性分析

2015-05-25刘俊辉单家元刘永善

系统工程与电子技术 2015年8期

关键词：等待时间偏置弹体

刘俊辉，单家元，刘永善

（北京理工大学宇航学院飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京100081）

脉冲力末端修正追踪制导律稳定性分析

刘俊辉，单家元，刘永善

（北京理工大学宇航学院飞行器动力学与控制教育部重点实验室，北京100081）

脉冲力控制的离散性和弹体动力学的连续性使得脉冲力控制制导控制系统成为难于分析的混杂控制系统。鉴于此，建立了脉冲力控制弹体和制导回路动力学模型，通过将脉冲力控制制导系统等价为幅值式脉冲调制（amplitude pulse frequency modulator，APF-M）系统，解决了脉冲力控制制导回路的变周期离散化建模问题。进一步利用滑模理论分析了制导回路的稳定性，得出脉冲冲量、喷管点火等待时间及重力对制导回路稳定性的影响。提出了偏置阈值法进行重力补偿，并对脉冲力控制制导回路进行了仿真分析。仿真结果验证了偏置阈值法重力补偿的有效性，并得出加大脉冲冲量，减小喷管点火等待时间能有效减缓失调角发散的结论。

脉冲力控制；末端修正；变周期离散化建模；滑模控制；偏置阈值重力补偿

0 引言

制导回路中，导引头及自驾驶仪动力学滞后直接降低制导回路性能。在比例导引中，动力学滞后会增加制导回路所需末制导时间［1］。采用直接脉冲力和捷联导引头直接减小了自驾仪及导引头的动力学滞后，可使制导回路性能大幅提升。

相比于传统的气动力控制，脉冲力控制具有控制指令的响应时间短，反应速度快以及弹上设备简单的优点，但是具有脉冲控制力的作用时间短、弹道修正能力有限、不能够连续作用、具有离散性、理论分析复杂的缺点。

对于捷联导引头的使用一般有两种思路，一种是通过提取视线角速度来实现比例导引，另一种直接采用弹体追踪。利用捷联导引头提取的视线角速度进行制导时，隔离度寄生回路问题容易导致制导系统不稳定［2］。而直接采用弹体追踪［3］时，导弹和目标的速度不能太大，当制导回路中存在固有滞后时，弹体稳定回路需要有一定阻尼，并且飞行过程中攻角要较小，这就使得常规弹体追踪制导律效果较差。本文中的制导策略是通过等待时间的设置，利用弹体静稳定性使攻角在等待时间内收敛到足够小，然后通过判断由捷联导引头近似量测的弹体速度矢量与弹目视线的夹角是否大于点火阈值来决定是否点火位于质心的喷管来实现近似的速度追踪法。

脉冲力控制本质上属于非线性系统或者是切换控制系统以及混杂动力学系统［4］。对于脉冲力控制的理论分析国外20世纪60至70年代就已经开始，俄罗斯和美国较先研究了脉冲力控制理论。脉冲力控制的研究主要用于航天器控制及神经系统信号传递理论。在滑模状态下，脉冲力控制等价于继电控制［5］。文献［6］通过离散系统理论对脉冲力控制进行了深入透彻的研究。

检索到的公开发表的文献显示，对于应用于制导回路的脉冲力质心控制的研究主要集中在通过弹道仿真的方法分析参数的选取对制导精度的影响，还鲜有学者从稳定性角度对参数选取进行分析。文献［7］通过弹道仿真对比了比例导引、抛物线比例导引及弹道追踪制导律在不同脉冲喷管数及冲量下对落点散步的影响，并分析了敏感器测量误差对制导精度的影响。文献［8］提出了基于脉冲频率调制的弹道追踪制导策略，可以减少脉冲喷管个数和脉冲冲量的使用。文献［9］提出了具有超前拦截角的制导律，直接计算制导律所需的脉冲开启时间来实现制导律，仿真验证了该制导律比零控脱靶量制导律更优越。文献［10］针对脉冲喷管控制设计了预测最优控制制导律，此制导律能较好地减少脱靶量。文献［11］从控制能力、零控脱靶量角度分析了各因素对脉冲式控制大气层外拦截器脱靶量的影响。文献［12］结合预测控制和最优控制理论设计脉冲喷管点火阈值。并通过李雅普诺夫理论证明了制导系统的有限时间稳定。文献［13］设计了非光滑利普希茨阈值从而减少了开关脉冲力制导中脉冲喷管的开关次数。

本文旨在通过建立脉冲力末端修正制导回路的模型，然后从制导回路稳定性的角度分析影响脉冲力控制制导回路稳定性的主要因素。首先建立弹体动力学模型，确定控制力到弹道倾角角速度的传函；然后引入平均失调角变化速度，将点火等待时间等价为幅值式脉冲频率调制，利用离散化控制理论建立离散化脉冲力控制制导回路模型；最后应用滑模控制理论分析滑模可达性条件，确定了失调角趋近于点火阈值的条件，分析了失调角稳定于点火阈值滑模带中条件。同时，提出了偏置阈值法重力补偿。仿真结果验证了以上理论分析的正确性及所提方法的有效性。

1 脉冲力质心控制建模

1.1 脉冲力控制末修弹药概述

脉冲力控制制导弹药的制导问题实质上是利用弹目相对信息来改变弹目相对位置关系。末修弹药确定弹目相对位置关系通常采用两种方法，一种是弹上装惯导或GPS设备，另一种是弹上装捷联导引头设备［14］。本文中所讨论的脉冲力控制制导就是采用头部加装捷联导引头，质心附近安装脉冲喷管，并在弹上安装滚转陀螺测量弹体滚转角。捷联导引头量测弹体轴与弹目连线的夹角，弹上计算机判断当前的点火等待时间是否达到所需的等待时间并且失调角是否达到点火阈值来决定是否点火。通过设置脉冲点火等待时间来使判断决策时刻弹体的攻角足够小，以达到近似速度追踪的目的。

脉冲力控制脉冲喷管的设计参数主要包括脉冲发动机个数、单脉冲冲量大小、单个脉冲持续作用时间、脉冲发动机在弹体上的布局参数及弹体转速等，控制策略设计参数包括点火阈值范围、点火等待时间，弹上量测设备的参数选取主要包括滚转陀螺滚转角测量误差和导引头测量误差。由于重力因素对制导回路的影响较大，并且滚转弹控制通常利用准弹体系分解为纵向和横向平面，因此为简化问题分析，本文不考虑弹体滚转问题，只在纵向平面内分析脉冲力控制追踪制导律的性能。本文假设脉冲喷管个数足够、脉冲喷管环形安装于质心附近。主要从理论上分析单脉冲冲量大小、点火阈值范围、点火等待时间对失调角发散时间的影响。

1.2 弹体动力学建模

重力对弹道倾角角速度的影响在制导回路里考虑，这里只考虑空气动力、空气动力矩及脉冲力产生的力和力矩。同时，为了简化研究，仅研究纵向运动，得到弹体纵向运动动力学方程为

式中，ϑ为弹体俯仰角；α为弹体攻角；θ为弹道倾角；l为脉冲喷管离质心的距离，由安装偏差产生（弹头方向为正方向，脉冲力作用点位于质心之后l取负，反之为正）；F为脉冲控制力；m为弹体质量；Jz为弹体转动惯量；Vm为弹体速度；aα为静稳定力矩系数；aω为阻尼力矩系数；bα为攻角产生的力系数，三者为弹体动力学系数，具体定义参考文献［15］。

由方程组（1）零状态拉氏变换后联立求解，得到脉冲控制力弹体传递函数为

1.3 制导回路建模

纵向平面内弹体和静止目标之间的相对运动几何关系如图1所示。图中oxy为地面系下的纵向平面，ox、oy分别为水平和高度方向，ym为纵向弹目相对高度，RTM为弹目相对距离，nM为弹体法向加速度，q为弹目视线角，θ为弹道倾角，α为飞行攻角，ζ为速度初始指向角误差，ε为准弹体系下纵向失调角。

图1 弹目交汇几何关系图

一般弹目将要交会时，弹体的速度变化已不大，文中假设弹体速度为常值。指向角偏差一般较小可忽略，在ym相对于RTM较小时，建立速度追踪法弹目交会的动力学方程组为

由弹目交会几何关系图可以得到

式中，F为法向脉冲控制力；Fm为脉冲力的平均值；εth为脉冲点火阈值；sgn为符号函数；g为重力加速度；x为中间变量；Vr为弹目接近速度近似等于弹体飞行速度；TF、t分别为总飞行时间和当前飞行时刻。

实际中制导回路常采用弹体追踪法，即误差量为ε＝q－ϑ＝q－（θ＋α）。采用弹体追踪制导律时，通过等待时间来使弹体攻角降至一定的幅值范围然后进行阈值判断，近似于速度追踪法。实际中也可以通过双加速度计估算弹体攻角的方法来获得弹体的速度方向从而实现速度追踪法。结合第1.2节中脉冲控制力至弹道倾角角速度弹体传递函数和第1.3节中得到的弹目交会动力学及几何关系方程可以获得如图2所示的脉冲力控制制导回路框图。

图2 脉冲力控制制导回路框图

2 制导回路模型离散化

脉冲力控制制导回路实质上是控制周期不固定的超离散切换控制系统。参考文献［6］建模方法，将脉冲力控制系统等效为时变的幅值式脉冲调制（amplitude pulse frequency modulator，APF-M）控制系统。

脉冲点火等待时间由失调角大小决定，失调角大于点火阈值时，点火等待时间为最小点火等待周期T。若失调角小于点火阈值，那么点火策略会继续等待，等到失调角积累到点火阈值时才点火。典型的失调角随时间变化关系如图3所示。其中，λ为脉冲力作用时间，mkT为脉冲点火等待时间，Δθ为单个脉冲点火弹道倾角改变量。

图3 失调角随时间的变化

脉冲点火等待时间与一个脉冲点火后的失调角大小有直接关系。可以建立如下近似关系来描述脉冲点火等待时间。

式中，T为脉冲点火最小时间间隔；˙εav为失调角平均变化速度。

脉冲点火等待时间与失调角大小的关系如图4所示。

图4 幅值式脉冲频率调制

一般脉冲力控制修正弹药，弹体静稳定度较大，升力系数较小。因此，通常式（2）中bα≪aω，bαaω≪aα，lbαmv≪Jzaα，这时有如下近似关系

由式（3）简化后得到

令y1＝ym／Vm，y2＝x，将以上动力学方程表示成状态空间形式为

求解控制周期不固定的离散时间状态方程需要首先确定控制周期间隔内系统所受的输入控制及扰动。实际中的脉冲力在作用时间内会发生变化，这里可以将其理想化为幅值不变的矩形脉冲信号。由于制导回路的低通特性，理想化矩形波信号与实际变化的脉冲力对弹的控制效果是相同的。真正起作用的是单个脉冲作用的冲量大小。脉冲力控制弹体所受控制力如图5所示，其中tk为脉冲点火时刻。

对以上状态空间表达式进行离散化得到：

图5 控制力模型

对于式（9），当t＋k≤t≤t－k＋λ时

当t＋k＋λ≤t≤t－k＋1时

将式（11）代入式（12）得

对式（13）中G（－λ）H（λ）和G（－λ）Q（λ）可进行如下简化：

简化后得到

得到

3 制导回路稳定性分析

3.1 稳定性分析

脉冲点火控制是一种带死区的继电控制。可以用滑模控制的思想来分析制导回路的稳定性。在制导过程中，误差信息为失调角ε，控制的目的就是在整个末制导过程中使失调角ε在一定的误差边界内。这样就能保证末端脱靶量较小。但是只要在制导末端有脱靶量，失调角都会发散，所以期望失调角越晚发散越好。运用滑模控制来分析脉冲力控制追踪制导律的稳定性，主要有两个步骤：①分析滑模带的可达性条件；②分析滑模带中的运动特性。

3.1.1 滑模带的可达性

对于对称点火阈值追踪制导律，取滑模面切换函数为失调角ε，k时刻有

取一个k时刻的Lyapunov函数为

那么

假定式（19）中k时刻的剩余飞行时间为k＋1时刻的n倍。

对式（19）作以下代换，设

由式（19）和式（21）可知

式中，Vm≈Vr；y2（k）＝θk－ζ；λ≪mkT。这时

下面对于对称点火阈值制导律的稳定性分两段进行考虑，一段是剩余时间较大tgo（k）≥5T，另一段剩余时间较小tgo（k）＜5T。

（1）当tgo（k）≥5T时，则n＜5／4，此时（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）值较小可以忽略。

当Z≥εth＞0（ε≤－εth）时，mk＝1，脉冲力向下，Ip＜0并且起控段弹道倾角θk＜0。由式（23）可知，当且仅当X＋Y＜0，ΔV才有可能小于零。

若要滑模面满足可达性条件，那么ΔV≤0，则

同理，当Z≤－εth＜0（ε＞εth）时，mk＝1，脉冲力向上，Ip＞0并且起控段弹道倾角θk＜0。只有当X＋Y＞0时，ΔV≤0才有可能成立。

若要滑模面满足可达性条件，则ΔV≤0，那么

以上分析中：

由以上分析可知，在滑模带外，失调角的稳定性由式（27）的正负决定，当Z＝－εth＞0，必须满足X＋Y＜0才能满足李雅普诺夫稳定性条件，同理当Z＝－εth＜0，必须满足X＋Y＞0。由式（27）可知，当Ip／T较大时，控制量就能决定X＋Y的大小，也就能决定系统的稳定性。因此，可以通过增大Ip或减小T来使系统更稳定。

由于脉冲力修正弹药一般在弹道降弧段起控，因此式（27）中θk＜0，重力影响项也小于0，控制决策时（αk＋1－αk）／T很小可以忽略，因此X＋Y＜0的条件更易满足，此时满足Z≥－（X＋Y）／2条件时系统稳定，并且由式（16）可知，重力作用使y1，y2减小，从而使失调角ε由负逐渐增大为正。因此提出偏置阈值法来补偿重力对失调角的作用。

（2）当tgo（k）＜5T时，则n＞5／4，此时（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）值较大不能忽略。

此时，由于（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）＝（n－1）· ym（k＋1）／（Vmtgo（k））＞0大小不确定而且相比于式（27）具有相当的大小。因此，此时X＋Y的正负不确定，那么也不能确定ΔV的正负。不能使用李雅普诺夫稳定性确定系统的稳定性。由于X＋Y通常为负，此时ym（k＋1）保持较小时，而且ε≤（X＋Y）／2时，系统能够稳定。然而若要使X＋Y＞0，必须使ym（k＋1）较大才行，而且ε≥（X＋Y）／2。弹道末端期望ym（k＋1）越小越好，因此期望前一种的稳定方式。偏置阈值重力补偿法可以较好地实现前一种稳定方式。

由于以上分析可以得到如下结论：脉冲修正初期，tgo（k）≥5T，X＋Y＜0，此时只有ε＜0，系统才稳定，也就是失调角增大，模值稳定下降。tgo（k）＜5T时，X＋Y的正负取决于（n－1）·y1（k＋1）／tgo（k）的大小与式（27）和的正负。由于式（27）为负，若要使X＋Y＞0需要较大的y1（k＋1）的才行，导致较大的脱靶量。

3.1.2 偏置阈值重力补偿法

通过偏置阈值法来补偿重力作用，使失调角误差更好地满足李雅普诺夫稳定性。如图6和图7所示，将点火阈值±εth增加偏置量－εbia变为±εth－εbia。

图6 对称阈值控制策略

图7 偏置阈值控制策略

此时，当0＜Z≤－εth＋εbia（0＞ε＞εth－εbia）时，mk＝1，Ip＞0并且起控段弹道倾角θk＜0。当X＋Y＜0且ε≤（X＋Y）／2系统稳定。当－Z＜－εth－εbia＜0（ε＜－εth－εbia＜0）时，mk＝1，Ip＜0并且起控段弹道倾角θk＜0。当X＋Y＜0且ε≤（X＋Y）／2，系统稳定。这样就满足了滑模控制的可达性条件，下面主要分析在什么条件下失调角一直保持在滑模带中。

3.1.3 滑模带中的运动特性

在滑模带中，当mk＞1时，由图6和图7可知，失调角误差一定能停留在滑模带±εth中。只有当mk＝1，在一个等待周期内，失调角的变化角速度超过一定数值时，失调角会逃离滑模带发散。失调角的变化角速度为

由式（29）可知，若要保证失调角不发散，必须使平均视线角速度小于一定值。增大Δθ（即增大Ip），减小T，以及减小gcosθ／Vm的影响都能扩大可稳定的视线角速度。

3.2 仿真结果

基于图2的制导回路框图，假设脉冲喷管无穷多，仿真条件为g＝9.8m／s2，脉冲力为Fm＝2 500～3 700N，脉冲喷管的作用力持续时间λ＝30ms，喷管作用最小等待时间T＝200～400ms，Vm＝200m／s，θ（0）＝－23°，ζ＝5°，aα＝620s－2，aω＝3.3s－1，bα＝0.5s－1，l＝15mm，m＝35kg，Jz＝2kg·m2，ym（0）＝800m，仿真时间tf＝10s，采用四阶龙格库塔算法，仿真步长为0.001s。不同的脉冲冲量，不同喷管点火最小等待时间及点火阈值偏置情况下的失调角如图8所示。

图8 不同控制策略下的失调角

图8中方法1为对称点火阈值，标称脉冲冲量，标称最小点火等待时间下的失调角随时间的变化；方法2为其他条件不变增大脉冲冲量后失调角的变化；方法3为减小最小点火等待时间后失调角的变化；方法4为偏置点火阈值后失调角随时间的变化。仿真结果验证了，增大脉冲冲量，减小喷管点火等待时间及偏置点火阈值可以延长失调角处于滑模带中的时间的结论。偏置点火阈值，使失调角点火阈值下移来补偿重力对失调角的作用，可以较好延缓失调角发散时间，从而减小脱靶量。

4 结论

脉冲力控制能有效减小弹道散布，过去的研究通常将其当成一种弹道修正方式。对其仅进行弹道仿真来分析脉冲力控制参数的选取。而利用弹道仿真方法无法揭示各参数对制导系统产生影响的原因。为了从稳定性理论上分析脉冲力控制制导回路，本文建立了脉冲力控制弹体追踪法变周期离散化模型。在滑模控制理论的基础上详细分析了脉冲力控制追踪制导律的稳定性条件。最终得出通过增大脉冲冲量，减小喷管点火等待时间及偏置点火阈值可以延长失调角处于滑模带中的时间的重要结论。减缓失调角的发散就意味着减小脱靶量。

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Stability analysis of pursuit guidance law using impulse force control

LIU Jun-hui，SHAN Jia-yuan，LIU Yong-shan
（Key Laboratory of Dynamics and Control of Flight Vehicle，Ministry of Education，School of Aerospace and Engineering，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

The impulse force control guidance system belongs to the complex hybrid control system due to the discreteness of impulse force control and the continuity of missile dynamics.A dynamics model of impulse force control missile is established.And，varying period discrete modeling of the impulse force control guidance loop is completed by finding the equivalence between the impulse force control guidance system and the amplitude pulse frequency modulator（APF-M）control system.Then，the impact of pulse jet impulse，pulse jet ignition waiting time and gravity on the guidance loop is obtained via analyzing the guidance loop stability using the sliding-mode control theory.Moreover，a bias threshold gravity compensation method is proposed and then simulated.The simulation results verify the gravity compensation method，and demonstrate the conclusion that increase pulse jet impulse and decrease pulse jet ignition waiting time can slow down the speed of boresight error divergence.

impulse force control；terminal correction；varying period discrete modeling；sliding-mode control；bias threshold gravity compensation

TJ 765.3

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.21

刘俊辉（1990－），男，博士研究生，主要研究方向为导引头、直接力控制，飞行器导航、制导与控制。

E-mail：ljh0023＠bit.edu.cn

单家元（1967－），男，教授，博士，主要研究方向为飞行器设计，飞行器制导、控制与仿真。

E-mail：sjy1919＠bit.edu.cn

刘永善（1965－），男，副教授，博士，主要研究方向为飞行器制导、控制与仿真。

E-mail：liuysh＠bit.edu.cn

1001－506X201508－1852－06

网址：www.sys－ele.com

2014－07－22；