基于模型不确定性的响应曲面建模

2015-05-25欧阳林寒马义中汪建均

系统工程与电子技术 2015年8期

关键词：包容性标准差贝叶斯

欧阳林寒，马义中，汪建均，刘健

（南京理工大学经济管理学院，江苏南京210094）

基于模型不确定性的响应曲面建模

欧阳林寒，马义中，汪建均，刘健

（南京理工大学经济管理学院，江苏南京210094）

针对响应曲面构建中模型不确定性问题，在组合建模方法的基础上，通过引入包容性检验，提出了基于包容性检验的稳健性组合建模方法（ensemble of surrogates based on encompassing test，ET-EOS）。首先，根据实际问题及各模型的特点确定子模型集，进而构建各子模型；其次，采用包容性检验筛选子模型，以消除子模型间存在的冗余信息；然后对筛选出的子模型进行加权组合，以构建ET-EOS模型。基于包容性检验，提出了稳健的组合模型，解决了模型不确定下的响应曲面构建问题。最后，结合实际案例和仿真试验验证提出方法的有效性，结果表明此方法不仅改善了模型的预测性能及其稳健性能，而且通过筛选子模型减少了建模所需的工作量。

模型不确定性；包容性检验；响应曲面；组合模型

0 引言

稳健参数设计是由日本著名质量工程专家Taguchi博士于20世纪80年代提出，该方法的基本原理是选择最佳的输入参数，以减少和控制噪声因素对产品／工艺过程的影响［1－3］。尽管Taguchi方法的质量哲学思想已经被学术界、工业界所广泛地接受，但对于Taguchi所提出的方法与技术等方面仍存在较大的争议［4］。如文献［5］指出信噪比作为一个度量过程波动的指标，无法有效地区分输入参数对响应均值与方差的影响。针对Taguchi方法的不足之处，文献［6－7］提出将Taguchi的稳健参数设计问题转化为具有约束的响应曲面优化设计问题。

由于在实际的生产过程中，仪器、测量等因素将在一定程度上影响试验数据的准确性或影响产品／工艺过程的显著性变量无法准确地获知，因此考虑模型不确定下的响应曲面构建在质量改进活动中显示出越来越重要的作用。特别是在高质量、高可靠性的产品设计中，若无法精确地获得过程输入与输出之间的函数关系，将难以有效地确定最优的输入参数［1，8］。因此，在实现产品的质量设计中，应充分考虑模型不确定性，并精确地刻画产品／工艺过程中输入与输出之间的函数关系，从而获得有效的参数设计。

近年来，一些研究者开始运用组合模型的方法解决模型不确定下的稳健参数设计问题。组合模型的基本原理是采用两种以上不同的建模工具对同一个产品／工艺过程进行建模并预测，其本质是解决模型不确定的重要手段之一。当前，利用组合建模方法考虑模型不确定的研究已引起一些研究人员的关注和重视。

文献［9］提出将贝叶斯组合模型用于响应曲面建模，该组合模型以各子模型的后验概率作为权重，并分析了模型不确定性对过程优化的影响。文献［10］采用贝叶斯组合模型构建多响应曲面，并以二次损失函数为优化指标来解决多响应的稳健优化问题。同时，其在贝叶斯组合模型的基础上进行了追随试验，研究了追随样本点位置及数量的选择问题。文献［11］采用调节因子法将模型不确定性传播到系统响应的预测中，然后结合贝叶斯组合模型量化响应预测中的模型不确定性。文献［12］针对稳健参数设计中存在的不确定性问题，将因子效应原则引入贝叶斯组合模型中，所提的组合模型不仅遵循了试验设计的三大效应原则，而且改善了其预测性能。然而，由于贝叶斯组合模型中的各子集模型都是多项式模型，故在高度非线性的建模问题上，该模型并不能准确地刻画产品／工艺过程中输入与输出之间的函数关系。文献［13］从非贝叶斯角度研究了组合模型的构建问题，比较了组合模型与单一模型的预测性能，并分析了组合模型的预测性能在不同类型的工程问题（低阶线性，低阶非线性，高阶线性和高阶非线性）都表现较佳；同时，验证了其预测性能对样本点及试验设计的选择更具稳健性。文献［14］提出了自适应的组合建模方法，该方法的子模型不仅包括多项式模型，而且增加了能够较好拟合非线性问题的回归模型，如Kriging模型、支持向量机等。由于Kriging模型的优点主要在于其能较好地拟合高度非线性过程，文献［15］针对输入输出过程为非线性情形下的响应曲面建模问题，提出将不同类型的Kriging模型进行加权组合。文献［16］采用传统的组合模型策略与协同进化方法分析了汽车的防撞性能试验，相应的最佳输入设置大大提高了汽车的防撞性能。文献［17］从递归权重的角度研究了组合模型的构建问题，并比较了组合模型下稳健参数设计与单一模型优化结果的异同。

虽然上述文献已分别从不同角度研究了模型不确定下的响应曲面构建问题，但是在稳健参数设计中，现有的组合建模方法忽视了各模型间存在预测信息的冗余现象，直接加权构建组合模型的方法并不能改善模型的预测性能或稳健性能。因此本文拟在组合模型的框架下，结合包容性检验以确定子模型集，提出了解决模型不确定下响应曲面构建的新方法。本文与现有的响应曲面建模方法相比，将包容性检验引入稳健参数设计中的响应曲面建模阶段，构建了稳健的响应曲面模型，解决了模型不确定下的响应曲面构建问题，以提高稳健参数设计的有效性。

1 包容性检验

包容性检验最早由文献［18］提出，该方法用于确定某一预测模型是否包含其他预测模型中所提供的信息。包容性检验的基本思想［19－21］是：

式中，β1与β2分别为模型的回归系数；ε为随机扰动。

在β1＋β2＝1的约束条件下，回归系数的取值将会出现以下3种情形：若（β1，β2）＝（1，0），则回归模型1包容回归模型2；若（β1，β2）＝（0，1），则回归模型2包容回归模型1；若（β1，β2）取其他参数组合时，则回归模型互不包容，即两个模型在预测时都包含了真实值y0的信息。在式（1）左右两边同时减去和，可以得出如下两个式子：

式中，ei，0＝y0－表示第i个模型在x0处的预测残差值。包容性检验可以采用式（2）或式（3）分别检验β2＝0或β1＝0来判断模型的包容性。另外，文献［21］提出了与式（2）或式（3）包容性检验相类似的检验方法：e1，0＝δ1（e1，0－e2，0）＋ε，其通过t统计量检验δ1的显著性，以实现包容性检验。

2 ET-EOS模型构建

2.1 子模型集及超参数的确定

在产品的设计建模中，以往的研究重点往往在组合模型中各子模型的权重求解上，而子模型集的筛选研究较少。如第1节所述，当某一模型被包容于另一模型时，则无须将该模型纳入组合模型中，因为增加该模型并不会改善组合模型的预测性能。在稳健参数设计中，常用的响应曲面模型有：参数、非参与半参模型、Kriging模型、径向基函数（radial basis function，RBF）模型等。在子模型集的选取上，试验者应根据实际问题与各模型的特点选择模型集。

针对各子模型中的超参数确定问题，通常采用“留一”交叉验证法。使用“留一”交叉验证法有两个优点：一是每一次进行模型拟合时几乎所有的样本都用于训练模型，因此最接近原始样本的分布，这样评估所得的结果比较可靠；二是实验过程中没有随机因素影响试验数据，确保试验过程是可以被复制的。该方法的基本思想是最小化预测误差以求解最佳的超参数值。

式中，yi为验证点i处的真实值为由n－1个样本点构建的模型在验证点i处的预测值；E表示以交叉预测平方和的某一函数作为优化指标；Ω为输入变量的可行域。

2.2 组合模型的包容性检验

由于不同模型适用的情景不同，故即使在同一组数据下，各模型所反应出的有用信息也各不相同。组合模型的最终目的是组合不同模型提供的有用且不相同的信息以改进预测效果。如果某个模型加入组合模型中，并不能改善新模型的预测性能，甚至降低其预测性能，则该模型不应包含在组合模型中，反之亦然。第1节主要以两个模型的包含性检验来阐述其思想，然而，在实际建模中，往往存在多个模型的组合。因此，建立多模型的包容性检验是十分有必要的。

相应的假设检验为：H0∶δi＝0，i＝1，2，…，m。通过t统计量检验δi的显著性，如果δi的p值小于显著性水平，即拒绝原假设，则第i个模型改善了组合模型的预测性能。反之，如果p值大于显著性水平，即接收原假设，则在模型组合前，将第i个模型从子模型集中剔除。虽然目前有不少文献研究如何选取各子模型的权重，但文献［22－23］提出简单的加权准则得到的预测性能往往优于复杂的加权准则。故本文选取等权重的方法对各子模型进行加权组合。关于如何利用各模型提供的不同信息确定相应的权重，需要未来进一步的研究。

2.3 ET-EOS模型构建步骤

ET-EOS模型构建的具体步骤如下：

步骤1 设计试验方案及收集试验数据。

步骤2 确定子模型集。根据产品／工艺过程特性，选择潜在的子模型集。

步骤3 确定超参数。以预测残差平方和为指标，采用交叉验证法，求解出各子模型的最佳超参数。

步骤4 构建子模型。基于步骤3中的最优超参数，并根据各子模型的建模方法分别构建各子模型。

步骤5 组合模型的包容性检验。采用式（5）对所有子模型进行包容性检验，以判断子模型对组合模型的预测性能是否有显著改善；若该子模型对组合模型的预测性能有显著改善，则将该模型加入组合模型中，反之，则剔除该子模型。

步骤6 构建ET-EOS模型。若各子模型都接受原假设，则比较各子模型的预测性能，选择最佳的子模型构建响应曲面；反之，若存在至少两个模型拒绝原假设，则通过线性加权的方法组合各模型，从而构建ET-EOS模型。

步骤7 评价预测性能。采用不同的预测性能指标，综合评价ET-EOS模型的预测性能，以验证经过筛选后组合模型的预测性能表现优越。相应的流程图如图1所示。

图1 ET-EOS模型建模流程

3 案例研究

打印墨水试验来源于文献［17］，主要研究彩色墨水在包裹标签上书写性能的问题。在该打印墨水试验中，研究人员选择一个33的全因子试验设计方案，并且每轮试验重复进行3次。研究人员认为影响书写性能的主要因素为：速度x1、压力x2、距离x3。具体的试验数据如表1所示。

3.1 子模型及超参数的确定

案例中的拟合对象分别为均值响应与标准差响应。文献［24］指出标准差响应不同于均值响应，其常表现为高度非线性的特征，故多项式模型不能较好地拟合标准差响应。同时，由于物理试验时间长且成本高的特性，故试验者往往只能收集小样本的试验数据。针对上述问题，本文以多项式回归模型（文献［6，25］均采用二阶多项式模型）、非参模型、半参模型、RBF模型与Kriging模型作为初始子模型集。

选用以上模型作为子模型集的理论依据是：

（1）多项式回归模型能较好地拟合低阶线性问题；

（2）非参模型对于非线性问题有较好的拟合能力，在响应曲面构建中，常见的即标准差响应模型；

（3）半参模型综合了参数与非参模型的性能，其显著特点是其在小样本情形下，对非线性过程具有较好的拟合能力；

（4）Kriging模型与RBF模型都属于插值模型，但Kriging模型不仅考虑待估点位置与训练样本位置的相互关系，而且还考虑变量的空间相关性；而RBF模型的优点主要在解决小样本情形下的建模问题。

表1 打印墨水试验的结果

针对不同的子模型，相应的超参数如下：Kriging模型：参数θ、θ的上下界upb和lob、多项式阶数和核函数类型；半参模型：窗宽b和加权系数λ；非参模型：窗宽b；RBF模型：中心参数c。

针对非参与半参模型，文献［26］建议采用惩罚的预测残差平和（apenalized predicted residual sums of squares，PRESS）；而对于Kriging模型与RBF模型，目前研究大多采用均方预测平方和（mean squared prediction error，MSPE）。对于PRESS和MSPE的计算公式及各模型的构建方法可见参考文献［26］。根据第2.1节中的交叉验证法和PRESS与MSPE确定相应子模型的超参数，其结果见表2。

3.2 包容性检验

基于表2中各超参数的数值，分别构建均值响应与标准差响应的子模型，需要指出的是，在构建多项式模型时，本文构建了两种多项式模型：一阶多项式模型和二阶多项式模型。然后按照第2.3节中的稳健性建模步骤对各模型进行包容性检验，相应的检验结果见表3。

表2 各子模型的超参数

表3 包容性检验的p值

根据表3中包容性检验的结果可知：针对均值响应，以一阶多项式模型为例，其p值为0.096，大于临界值0.05，故接受原假设，即若将一阶多项式加入组合模型中，并没有改善模型的预测性能。故在组合前，可将一阶多项式模型从子模型集中删除。在构建均值响应的ET-EOS模型时，经过筛选后的模型为二阶多项式模型、非参模型和RBF模型；而针对标准差响应，各子模型都接受原假设，按照步骤4从各子模型中选择最佳的子模型来构建响应曲面。

3.3 ET-EOS模型构建

由于文献［13］指出组合模型的预测性能对试验样本的选择呈稳健特性，故本文仅采用文献［17］的样本选择方法：以前面的20个试验样本点作为训练样本集，且将后面的7个试验样本点作为测试样本集。同时，采取均方根误差（root-mean-square error，RMSE）、最大绝对误差（maximum absolute error，MAE）和平均绝对误差（average absolute error，AAE）3个常见的定量指标来评价不同组合模型的预测性能（文献［17，26］）。其中，各指标的计算如下：

式中，n是测试点的个数；yi和分别为第i个试验点的真实值与预测值。

针对均值响应，ET-EOS的子模型集为二阶多项式模型、非参模型和RBF模型。而针对标准差响应，ET-EOS的子模型集应为最佳的单一模型。表4给出了不同子模型在标准差响应下的RMSE、MAE与AAE指标下的数值。

表4 标准差响应下各子模型的预测性能比较

从3个预测性能指标可以看出，半参模型在RMSE和AAE预测性能指标下都是最佳的。故针对标准差响应，选择半参模型来构建标准差响应曲面。同时，这也充分验证了半参模型在小样本及非线性问题的拟合优势。

本文同样采用上述3个预测性能指标，比较ET-EOS模型和贝叶斯组合模型与未经包容性检验的组合模型的预测性能，比较结果如表5和表6所示。

表5 均值响应下各组合模型的预测性能比较

表6 标准差响应下各组合模型的预测性能比较

根据表5和表6的试验结果可知，在以RMSE、MAE和AAE 3个指标度量预测性能的准则下，本文提出的ETEOS模型相比传统的组合模型（即贝叶斯组合模型与未经检验的组合模型）在均值响应的预测性能上均表现优越。虽然在标准差响应中，MAE指标的最佳模型为未经检验的组合模型，但是在其他两个指标的比较上，ET-EOS模型仍然表现较好的预测性能。在均值响应模型的构建中，以RMSE为评价对象，与贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型相比，ET-EOS模型在RMSE上的改善幅度分别达到19%和14%；在标准差响应中，RMSE上的改善幅度也分别达到27%和12%。这说明在建立组合模型前，首先采用包容性检验消除模型间存在的冗余信息，然后构建组合模型，可以有效地提升模型的组合效率，进而改善模型的预测性能。

4 仿真试验

为了进一步测试所提模型的有效性，本节采用蒙特卡罗（Monte Carlo，MC）方法对上述案例的试验数据进行仿真抽样。由于在原始数据中，每一轮次下的样本均值与标准差是可知的，因此可采用MC方法对原始数据进行重新抽样以实现仿真试验分析。同时，为了研究不同的系统波动对ET-EOS模型预测性能的影响，在抽样时以k倍的样本标准差抽取试验数据以进行仿真分析，相应的抽样方法为选择10个波动系数k，以表示系统处于不同程度的波动状态，其数值分别为0.25，0.5，0.75，1，1.5，2，2.5，3，3.5，4。采取这10组数据的目的是研究：在不同系统波动下，比较ET-EOS模型与其他组合模型的预测性能，以分析所提ET-EOS模型在不同系统波动下，其预测性能是否稳健。为了简化仿真分析的比较，在此仅对预测性能指标RMSE进行比较，其他指标的比较可参见此。相应的比较结果见表7与表8。

表7 不同波动系数下均值响应组合模型的性能比较

表8 不同波动系数下标准差响应组合模型的性能比较

根据表7和表8的比较结果可知，当波动系数由0.25逐渐增加到4时，ET-EOS模型预测性能均优于其他组合模型。这说明当系统波动不断增加时，ET-EOS模型预测性能优于其他两种组合模型的性能是稳健的。针对均值响应的情形，当k＝0.25时，相比贝叶斯组合模型，ET-EOS模型大大降低了RMSE值，其最大改善幅度接近41%；当k＝0.25时，相比未经检验的组合模型，ET-EOS在RMSE指标的最大改善幅度达25%。针对标准差响应的情形，当k＝3时，相比贝叶斯组合模型，ET-EOS在RMSE指标的最大改善幅度达47%；当k＝0.75时，相比未经检验的组合模型，ET-EOS在RMSE指标的最大改善幅度达15%。

从比较分析中可以发现，随着波动系数的增加，贝叶斯组合模型预测性能降低的幅度大于其他两种组合模型。这也充分验证了贝叶斯组合模型在拟合输入输出关系的局限性，即无法准确拟合过程波动较大的输入输出关系。以波动系数k从2.5增加到3为例，在标准差响应中，贝叶斯组合模型、未经检验的组合模型和ET-EOS模型在RMSE指标上增加的幅度分别为102%，50%，44%。该数值表明，随着系统波动的增加，ET-EOS模型的预测性能更加稳健。上述分析结果进一步说明了在建立组合模型时，采用包容性检验消除模型间存在的冗余信息，不仅可改善组合模型的预测性能，而且该性能是稳健的。图2同样展示了不同组合模型的预测结果。

从图2（a）中可知，当系统的波动增加时，在RMSE预测性能评价指标下，均值响应的ET-EOS模型预测性能曲线低于其他两种组合模型方法的预测性能曲线。故对于不同系统的波动，ET-EOS模型的预测性能均优于其他两种组合模型。特别是当系统的波动较大时，采用ET-EOS模型将比用贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型去刻画系统的输入输出关系将更加合理可靠。同样图2（b）展示了标准差响应下各组合模型预测性能的比较结果：ET-EOS模型的预测性能同样均优于贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型。

图2 预测性能比较

综上分析，从仿真试验中可以看出无论是在均值响应还是标准差响应中，ET-EOS模型均优于贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型。主要表现在：

（1）随着过程波动的不断增加，贝叶斯组合模型的预测性能急剧下降；

（2）相比贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型而言，ET-EOS模型的预测性能均表现优越；

（3）相比贝叶斯组合模型和未经检验的组合模型而言，ET-EOS模型的预测性能对过程的波动更加稳健。

5 结论

针对响应曲面构建中模型不确定性的问题，在组合模型的框架下，将包容性检验引入到组合建模中，提出了ETEOS的稳健性建模方法。首先，根据试验数据，确定并构建各子模型；然后采用包容性检验，消除各模型间存在的冗余信息，筛选出子模型集；最后构建稳健的响应曲面模型。

为了验证ET-EOS模型预测的准确性与稳健性，从实际案例和仿真试验两个角度出发，并以RMSE、MAE及AAE评价指标为基准，分析比较了不同组合模型的预测性能。从分析结果可得出：

（1）在非线性的产品／工艺过程中，贝叶斯组合模型并不能较好地拟合过程中输入与输出间的关系；

（2）不存在某单一模型在所有响应的拟合中都表现优越；如均值响应下的最佳单一模型是非参模型，而在标准差响应下的最佳单一模型是半参模型；

（3）在过程的随机波动不断增加的情形下，ET-EOS模型的预测性能均优于其他两种组合模型，同时，ET-EOS模型的稳健性能也要优于其他两种组合模型。

需要指出的是，本研究采用的加权准则都是假设各模型的重要性是相同的，没有在加权时考虑各模型间的差异。如何从模型本身的预测性能或预测样本与试验样本间的距离等因素考虑各模型的权重，将是未来需要进一步研究的课题。

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Response surface modeling based on model uncertainty

OUYANG Lin-han，MA Yi-zhong，WANG Jian-jun，LIU Jian
（School of Economics and Management，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

In most engineering problems，model uncertainty is inevitably involved in the robust parameter design.Ensemble of surrogates based on the encompassing test（ET-EOS）is proposed to consider model uncertainty for response surface modeling.Firstly，sub-surrogates are assured according to the practical problem and characteristics of models，then different surrogates are constructed.Secondly，encompassing tests are used to eliminate the redundant information among surrogates and reduce the number of surrogates contained in the ensemble of surrogates，and then the effective sub-surrogates are identified.Weighted average for all models is carried out to obtain a robust ensemble model.Finally，the effectiveness of the proposed method is verified through a practical industrial example combined with a simulation example.The results reveal that the proposed method not only improves the prediction and the robustness of model prediction，but also reduce the computing cost for constructing models.

model uncertainty；encompassing test；response surface；ensemble of surrogates

F 273.2

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.08.16

欧阳林寒（1987－），男，博士研究生，主要研究方向为质量设计与统计建模。

E-mail：oylh871109＠163.com

马义中（1964－），男，教授，博士，主要研究方向为质量工程与质量管理。

E-mail：yzma-2004＠163.com

汪建均（1977－），男，副教授，博士，主要研究方向为质量工程与应用统计学。

E-mail：wangjj0818＠163.com

刘健（1982－），男，讲师，博士，主要研究方向为供应链质量管理与决策分析。

E-mail：jianlau＠njust.edu.cn

1001－506X201508－1818－07