浅谈数学概念的教学

潘倩

【摘 要】 高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念，概念教学是数学教学中的重要组成部分，在新课程理念下，了解概念的体系、优化概念教学的设计、剖析概念的本质、掌握概念的符号、重视概念的巩固，真正达到认识数学思想和本质的目的。

【关键词】数学概念;教学

恩格斯说：“在一定意义上，科学的内容就是概念的体系。”数学概念是整个数学知识体系的基础，是进行数学推理、判断、证明的依据，是建立数学定理、法则、公式的基础，也是形成数学思想方法的出发点。数学概念的教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延，是学生思考问题、推理证明有所依据，能有创见地解决问题。可以说掌握数学概念是学好数学的关键。因此，数学概念的教学也相应称为数学教学的重要环节。高中数学教学实践表明数学概念是数学中既不易教也不易学的内容。在数学教学中要自始至终抓住数学概念的本质属性及其内部联系，就要了解概念的体系，关注概念的引入，剖析概念的本质，掌握概念的符号，重视概念的巩固。

一、了解概念的体系

数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础，数学概念是相互联系、由简到繁而形成的学科体系。人们认识事物的本质特征通常不可能一次性孤立完成。事实上，学生“获得的知识，如果没有完满的结构把他联系在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。一连串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命”。因此，数学概念的教学，要弄清楚学习这个概念需要怎样的基础，分析这个概念以后有何用处，它的地位和作用如何。这样，在讲授时就能主次分明，轻重得当，既复习巩固已学过的概念，又为后继概念作恰当的孕伏。例如，“绝对值”是贯穿整个中学数学的重要概念，先是在有理数中引入;接着在算术根中出现了=|a|，把绝对值得概念拓展到实数范围;最后在复数中，绝对值的概念扩展成了复数的模|a+bi|=（a，b∈R）。

二、关注概念的引入

传统的概念教学将获得知识结论作为主要目标，忽视了学生在知识形成过程中的重要作用，使学生的学习行为更多的表现为机械记忆，而不是理性分析。根据建构主义学习理论学习应是认知主体的内部心理过程，学生是信息加工的主体。高中数学新课标中提出了“过程与方法”这一教学目标维度，在这一维度下，新课程对学生的学习要求从原来的“知识性”向“过程性”转变。概念的引入是进行概念教学的第一步，这一步走得如何，对学好概念有重要的作用。

1.提供现实原型。著名教育家杜威曾说：“教学绝对不仅仅是简单地告诉，教学应该是一种过程的经历，一种体验，一种感悟。”数学教学中，教师应立足教材，着眼学生的发展，把握核心知识内容，有效开展自主探究活动，向学生展示本质，是学生理解数学概念的形成过程。形成准确概念的首要条件，是使学生获得十分丰富和合乎实际的感性材料。因此，在教学中要密切联系数学概念的现实原型，引导学生分析日常生活和生产实际中常见的事例，观察有关的实物、图示、模型，在具有充分的感性认识的基础上引入概念。例如在“异面直线”概念的教学中，教师应先展示概念产生的背景，如在粉笔盒这样一个长方体模型中，当学生找出两条既不平行又不相交的直线时，教师告诉学生像这样的两条直线称之为异面直线，接着教师可提出问题“什么是异面直线呢？”可让学生进行讨论，尝试叙述，再进行反复修改可得出异面直线的简明、准确而严谨的定义“我们把不在任何一个平面上的两条直线称为异面直线”。再让学生找出教室中的异面直线，再以平面为衬托作出异面直线的图，这样学生对异面直线的概念就有了一个较为明确的认识，同时也让学生经历了概念发生发展过程的体验。

2.从数学内在需要引入概念。例如，在实数范围内，方程x2+1=0没有解，为了使它有解，就引入了一个新数i，i满足i2=-1，它和实数一起可以按照通常的四则运算法则，进行计算。由此再引入复数的概念。于是方程x2+1=0就有解了。

3.用类比的方法引入概念。类比不仅是思维的一种重要形式，而且是引入新概念的一种重要方法。任何数学概念必定有与之相关的最近概念，因此教学中要以学生已掌握了的知识为基础，引导学生探求新旧概念之间的区别与联系，通过类比教学引出新概念。例如，二面角可类比平面角引入，平面与平面的位置关系可类比平面上直线与直线的位置关系引入，平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则概念的引入可以与物理学科中的位移的合成、力的合成进行类比引入等。

三、剖析概念的本质

概念在人们头脑中形成，仅是人们对概念认识的开始，对概念认识的深化必须从概念的内涵与外延上作深入的剖析。概念的内涵是指反映在概念中的对象的本质特征。概念的外延是指具有概念所反映的本质属性的对象。内涵是概念的质的方面，即概念所反映的事物是什么样子的。外延反映的是概念的量的方面，即概念的适用范围，它说明概念反映的是哪些实物。以三角函数的概念为例，对六个基本三角函数的定义，应抓住其中一个，如正弦函数sinα=y，可这样进行分析：正弦函数的值本质上是一个“比值”，它是角α的终边上任意一点的纵坐标y与这一点到原点的距离r的比值，因此它是一个数值;指出由于|y|≤r，所以这个比值不超过1，这个比值与点在角的终边上的位置无关，这可用相似三角形的原理来说明;这个比值的大小，随着α的变化而变化，当α取某个确定的值，比值也有唯一确定的值与之相对应。如此，以函数概念为基本线索，从中找出了自变量、函数以及对应法则，从而对正弦函数概念的理解就比较深刻了。经过对正弦函数概念的本质属性分析之后，指出角的终边上的任意一点P（x，y）一经确定，就涉及x，y，r这三个量，任取其中两个量组成比值，有且仅有六个。因此，基本三角函数就有六个，从而对三角函数的外延，就揭示的非常清楚了。

四、掌握概念的符号

用数学符号表示数学概念既是数学的特点又是数学的优点。由于数学概念本身就十分抽象，加上用数学符号表示，就更加抽象了，因而在数学概念教学中使学生真正掌握概念符号的意义是十分重要的。例如，学生往往将正弦函数的符号“sin”看成一个数，从而得出如下的错误等式：sin（α+β）=sinα+sinβ。所以在教学中，要始终给形式符号以具体的内容，时刻提醒学生注意符号的意义及使用符号的条件。

五、重视概念的巩固

初步形成的概念，巩固程度差，易受相近概念的干扰，适时利用变式训练有助于纠正学生的思维偏差。概念巩固是概念教学的重要环节。心理学原理告诉我们，概念一旦获得，如不及时巩固，就会被遗忘。巩固概念，首先应在引入、形成概念后，及时进行复述，以加深对概念的印象。其次应重视在发展中巩固。第三是通过概念的应用来巩固。概念的应用要注意递进的过程，即由初步的，简单的应用，逐步发展到较复杂的应用。要引导学生在判断、推理、证明中运用概念，在日常生活、生产实践中运用概念，以加深对概念的理解，达到巩固概念的目的。例如，教学对数的概念后，可以通过以下四类练习题予以巩固：

第一类，使学生习惯于对数符号logaN=b的运用，把“对数”与“对应的指数”联系起来，如把23=8，3-2=，5x=625等改写成对数式;把log432=，log3=x，log7N=2等改写成指数式。

第二类，使学生了解对数、真数、底数三者之间的关系，如求对数：log525，log4，log9;求真数：log27x=，logx=4，logax=5（a>0，a≠1）;求底数：logx8=3，logx9=，logx5=-2。

第三类，使学生对底数a和真数N的取值有清晰的认识，如判断下列各式是否成立：

1.log12=a，log（-2）16=4，log4（-20）=b;

2.求x：logx9=2，log（x+2）（x2-2x-2）=0。

第四类，通过对数恒等式a=N（a>0，a≠1）的证明，可以使学生深刻地理解对数的定义。

通过这些练习，可以使学生逐步学会运用对数概念进行判断、推理和证明。在运用的过程中，加深对对数概念的理解。

人类的认识过程是一个特殊的心理过程，对于数学概念的理解和掌握，智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学中要面向全体学生出发，从不同的角度，设计不同的方法，使学生对概念作辩证的分析，进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别，帮助学生掌握概念的内涵与外延;通过变式或变式图形，深化对概念的理解;通过新旧概念的对比，分析概念的矛盾运动，抓住概念之间的区别与联系来形成正确的概念。只有让学生深刻理解并掌握了概念，才能更好的帮助学生认识数学，进一步发展学生的数学思维，提高学生的理解能力。

【参考文献】

[1]布鲁纳.《教育过程》.文化教育出版社.第48页

[2]朱秀红.《高中数学概念教学的分析与思考》.《数学教学通讯》.（教师版）.2011.3.第13页

（作者单位：江苏省外国语学校）