“2299=2300”引发的思考

2015-05-22张宏涛

文理导航·教育研究与实践 2015年4期

关键词：两条路小道草坪

张宏涛

北师版教科书九年级数学上册第二章的教学内容是《一元二次方程》，在进行一元二次方程的应用教学时，我曾连续几年把下面的一个问题作为学生的作业甚至是单元测试题：

如图（一）所示，有一块长32米，宽20米的矩形稻田，稻田内有两条处处等宽的弯曲小路，已知种植面积为540m2，求道路的宽是多少？解答过程如下：

解：设道路的宽为x米，依题意有

（32-x）（20-x）=540，

整理，得x2-52x+100=0。

（x-50）（x-2）=0，

解得x1=2，x2=50（不合题意，舍去）。

答：道路的宽应是2米。

解题的思路是把图（一）中的两条路“平移”（本文中的“平移”实指等积变换）到如图（二）所示的位置，从而建立方程。

无独有偶，2011-2012学年北京市101中学七年级（下）期中数学试卷中有这样一道试题：16.如图（一），在长32米，宽20米的矩形草坪上建有两条等宽的弯曲小路，把草坪分成了4部分，若每条小路的宽度为2米，则草坪的面积为_____平方米。提供的解答过程如下：

解：由平移的性质，草坪的长为32-2=30（米），

宽为20-2=18（米），

面积=30×18=540（平方米）。

两道试题的解题思路都是利用了“平移”前后面积的不变性。一切看似合乎情理、风平浪静。但是，在2014年9月30日，当我碰到山东省威海市2013年中考数学的第23题时，我发现以上试题竟然存在漏洞，自己引用的竟然是一个错题。请看：

（威海市2013）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路。下面分别是小亮和小颖的设计方案。

（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；

（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同）

在批阅学生的作业时，发现绝大部分学生利用“平移”，少部分学生用总面积减去两条路的面积，再加上重叠部分的面积。特别地，发现第（2）问的两种解法的结果不同，第一种解法的结果为2300平方米，第二种解法的结果为2299平方米。为什么会相差1平方米？我开始怀疑之前我深信不疑的“平移”，中间肯定有问题。我打开几何画板开始画图做试验，结果终于发现了问题所在。探究过程与大家分享如下：

以矩形草坪上建路为例，在矩形的长、宽及路宽分别相同的条件下，上面的图（三）与图（四）可认为是等价的。如图（四），设路宽为x，两条路的夹角∠BCD为钝角，过点B作BI∥EF交CD于点I，则四边形BEFI是平行四边形，BI=EF=x；在△BCI中，∠BCI为钝角，则BC

综上所述，用图（二）的方式建立方程来研究图（三）、图（四）、图（五）等情境中的面积问题有失严谨。至此，出现“2299=2300”这一怪现象的原因终于真相大白！

目前，看似“正确”的“平移”仍在上演，例如福建省惠安县2014年初中学业质量测查（第二次质检）数学试题中的第24题如下：

学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为x m的小道（图中阴影部分）。

（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等小道，则剩余部分面积为_____________m2（用含x的代数式表示）；

（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行。若使剩余部分面积为570m2，试求小道的水平宽度x。

其提供的答案如下：

解：（1）由题意可得，剩余部分面积为：20（32-x）m2；

（2）依题意，得（32-2x）·（20-x）=570

解得x1=1，x2=35（舍去）

答：小道宽为1米。

显然，其第（2）问存在同样的漏洞。从根本上说，此类题目条件不全无法求解。怎样补上这个漏洞哪？一个好的办法就是明确图中每个重叠部分的面积均是x2平方米（x为路宽）。