广义均衡问题、极大单调算子和全局拟-φ-渐近非扩张半群的公共元的强收敛定理

吴燕林

(阳光学院基础部, 福建 福州 350015)

广义均衡问题、极大单调算子和全局拟-φ-渐近非扩张半群的公共元的强收敛定理

吴燕林

(阳光学院基础部, 福建 福州 350015)

针对广义均衡问题、 极大单调算子和全局拟-φ-渐近非扩张半群的公共元， 提出一个新的迭代算法， 在适当的条件下， 证明了由此迭代算法生成的序列的强收敛定理.

极大单调算子； 全局拟-φ-渐近非扩张半群; 广义均衡问题； 公共不动点

0 引言

设E为实的Banach空间，E*为其对偶空间. 设C为E的非空闭凸子集，J:E→2E*为正规对偶映射.

设Φ:C×C→R，A:C→E*. 考虑如下广义均衡问题(简记为GEP)， 令u∈C， 使得

用GEP(Φ)表示(1)式的解集.

众所周知， 问题(1)有着广泛的应用， 例如， 变分包含问题、 变分不等式问题、 不动点问题、 最优化问题, 参见文献[1-3].

假设二元函数Φ:C×C→R满足下列条件：

(A1)Φ(x,x)=0(∀x∈C);

(A2)Φ是单调的, 即Φ(x,y)+Φ(y,x)≤0(∀x,y∈C);

(A4) 对每个x∈C, 函数y|→Φ(x,y)是凸的和下半连续的.

设C为E中的非空闭凸子集， 定义广义投影算子ΠC:E→C为

称T:E→2E*为单调的， 如果满足〈x-y,x*-y*〉≥0, 其中x*∈Tx,y*∈Ty. 称T为极大单调的， 如果它的图像不包含在其它任何单调算子的图像里. 记T的预解算子为：Jλ:=(J+λT)-1J(∀λ>0)， 则Jλ：E→D(T)是单值映射且T-10=F(Jλ)(∀λ>0)， 其中D(T)为T的有效域，F(Jλ)表示Jλ的不动点集.

称Γ:={T(t):C→C;t≥0}为({νn}、 {μn}、ζ)全局拟-φ-渐近非扩张半群， 如果F(Γ)≠Ø且存在非负的实序列{νn}、 {μn}满足νn→0，μn→0(n→∞)及严格递增的连续泛函ζ:[0, ∞)→[0, ∞),ζ(0)=0符合下列条件：

1)T(0)x=x(∀x∈C)；

2)T(s+t)x=T(s)T(t)x(∀s,t≥0, ∀x∈C)；

3) 对每一个x∈C， 映射t|→T(t)x在[0, ∞)上都是连续的；

4)φ(p,Tn(t)x)≤φ(p,x)+νnζ(φ(p,x))+μn(∀n≥0,x∈C,p∈F(Γ),t≥0)

注1[4]设E为一致光滑和严格凸的Banach空间,T:E→2E*为极大单调算子且T-10≠Ø， 则Jλ:=(J+λT)-1J(∀λ>0)是从E到D(T)全局拟-φ-渐近非扩张的和闭的.

受到文献[5-6]的启发， 本文针对广义均衡问题， 极大单调算子和全局拟-φ-渐近非扩张半群的公共元， 提出如下算法1：

在适当的条件下， 证明了由算法1生成的序列强收敛于ΠΞ(x0). 其中，Ξ=GEP(Φ)∩T-10∩F(Γ) . 本研究是将文献[5]的研究对象从相对非扩张映射可数族推广到全局拟-φ-渐近非扩张半群, 同时将文献[6]的研究对象从全局拟-φ-渐近非扩张半群拓展到全局拟-φ-渐近非扩张半群公共不动点和广义均衡问题的解及极大单调算子的零点的公共元问题.

1 预备知识

引理1[7]设E是自反， 严格凸和光滑的Banach空间，C为E的非空闭凸子集， 则下面结论成立：

(ⅰ)φ(x,ΠCy)+φ(ΠCy,y)≤φ(x,y)(∀x∈C,y∈E)；

(ⅱ) 如果x∈E和z∈C, 则z=ΠCx⟺〈y-z,Jx-Jz〉≤0(∀y∈C)；

(ⅲ) 对任意的x,y∈E，当且仅当x=y时，φ(x,y)=0.

引理2[8]设E是自反， 严格凸和光滑的Banach空间，C是E的非空闭凸子集，A:C→E*为α-逆强单调算子， 二元函数Φ:C×C→R满足(A1)～(A4). 令λ>0， 则对任意的x∈E， 存在u∈C使得

若E为一致光滑的， 定义Tλ:E→C为：

则Tλ满足下面的性质:

引理3[8-10]设E是自反、 严格凸和光滑的Banach空间，T:E→2E*为多值映射， 则如下结论成立：

(ⅰ)φ(z,Jλx)+φ(Jλx,x)≤φ(z,x)(∀λ>0,z∈T-10,x∈E);

(ⅱ)Jλ：E→D(T)为相对非扩张映射;

(ⅲ) 如果T是极大单调的和T-10≠Ø， 则T-10是闭凸的；

(ⅳ)T是极大单调的当且仅当T是单调的且R(J+λT)=E*(∀λ>0).

引理4[4]设自反、 严格凸和光滑的实Banach空间E和E*都具有Kadec-Klee性质，C为E的非空闭凸子集,T:C→C为({νn}、 {μn}、ζ)全局拟-φ-渐近非扩张映射， 则F(T)是C中的闭凸子集.

3 主要结论

定理1 设光滑、 严格凸和自反的实Banach空间E和E*都具有Kadec-Klee性质，C为E的非空闭凸子集. 设A:C→E*为α-逆强单调算子， 二元函数φ:C×C→R满足条件(A1)～(A4)；T:E→2E*为极大单调算子； 设Γ:={T(t):t≥0}为闭的、 一致Lipschitz和({νn}、 {μn}、ζ)全局拟-φ-渐近非扩张半群， 使得:Ξ≠Ø. 设序列{λn}⊂[d, ∞)(d>0)， {αn}⊂[0, 1)， {βn}⊂(0， 1)满足条件：

若Ξ在C中有界， 则由算法1生成的序列{xn}强收敛于ΠΞ(x0).

证明 首先， 由Cn定义， 容易证明Cn(n≥0)是C的闭凸子集.

其次， 利用归纳法结合引理2的结论可证Ξ⊂Cn, ∀n≥0.

第四， 证明xn→p*(n→∞)(p*是C中的一点).

第五， 证明p*∈Ξ.

如果τ*∈Tτ， 根据算子T的单调性可得: 〈τ-Jλnwn, t, τ*-Aλnwn, t〉≥0(∀n≥0， t≥0 ).

令n→∞， 得到〈τ-p*, τ*〉≥0， 因此， 由T的极大单调性可得: p*∈T-10.

最后， 由{xn}有界和Γ:={T(t):t≥0}为({νn}、 {μn}、 ζ)全局拟-φ-渐近非扩张半群， 可证明p*∈F(Γ)且p*=ΠΞx0. 定理1证毕.

由定理1可得如下的定理2和定理3， 证明省略.

定理2 设E、 C、 {αn}、 {βn}、 {λn}都如定理1所定义. 设A: C→E*为α-逆强单调算子， 二元函数Φ:C×C→R满足条件(A1)～(A4). 设极大单调算子T:E→2E*满足Jλ：=(J+λT)-1J, ∀λ>0.Γ:={T(t):t≥0}为闭的、 一致Lipschitz和({kn})拟-φ-渐近非扩张半群(其中{kn}⊂[1, ∞)，kn→1且满足Ξ≠Ø). 若Ξ在C中有界， 那么由算法1产生的序列{xn}强收敛于ΠΞ(x0).

定理3 设E、C、 {αn}、 {βn}、 {λn}都如定理1所定义； 设A:C→E*为α-逆强单调算子， 二元函数Φ:C×C→R, 满足条件(A1)～(A4). 设极大单调算子T:E→2E*满足Jλ：=(J+λT)-1J, ∀λ>0.Γ:={T(t):t≥0}为闭的、 ({kn})拟-φ-渐近非扩张半群(其中{kn}⊂[1, ∞)，kn→1且满足Ξ≠Ø；ΠCn+1:E→Cn+1为广义投影). 则由算法1生成的序列{xn}强收敛于ΠΞ(x0).

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(责任编辑： 林晓)

Strong convergence theorems of an iterative method for a generalized equilibrium problem, a maximal monotone operator and total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups

WU Yanlin

(Department of Basic Teaching, Yango College, Fuzhou, Fujian 350015, China)

We propose an iterative scheme for finding a common element of the solutions of a generalized equilibrium problem, a maximal monotone operator and total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups. Under some appropriate conditions, we establish some strong convergence theorems of the sequences generated by our proposed scheme.

maximal monotone operator; total quasi-φ-asymptotically nonexpansive semigroups; generalized equilibrium problem; common fixed point

2014-09-07

吴燕林(1984-)， 讲师， 主要从事非线性优化研究，wyl-kk@163.com

福建省自然科学基金资助项目(2014J01008)

10.7631/issn.1000-2243.2015.06.0733

1000-2243(2015)06-0733-05

O122.3

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