对Butler双水平井SAGD产量公式的质疑

陈元千

（中国石油勘探开发研究院，北京 100083）

Butler[1]针对较厚的重质油藏，于 1991 年提出的蒸汽辅助重力驱动的原理和方法，在我国引起了广泛重视。同时，发表了有关室内模拟实验和矿场工艺技术研究方面的文章80余篇，如文献[2—17]。然而，令人遗憾的是，对于Butler提出的蒸汽辅助重力驱动的产量公式，在国内外文献中，尚查不到有关实际应用的计算结果。对此，本文展开深入剖析与探讨。

1 从达西倾斜线性流动的流量公式推导谈起

本文基于达西倾斜线性流动的微分式进行了推导，得到了包括重力驱动作用和注入压力驱动作用的流量公式。从公式对比可以看出，Butler的公式只有流体的重力作用驱动项，而缺少注入压力的驱动项。

对于均质各向同性的储层，达西倾斜的线性流动（见图1）的地下流量与压力梯度的微分式为[18]

对式（2）进行分离变量积分，并代入上下限为

将式（3）积分，得达西稳定倾斜线性流动的流量公式：

再将式（4）改写为

若设：

则得：

由式（8）可以看出，达西稳定倾斜线性流动的流量，由q1和q2两部分组成，q1为注入压力驱动作用提供的流量，q2为重力辅助驱动作用提供的流量，而且q1≫q2。Butler的SAGD产量公式相当于式（7）。

图1 达西稳定倾斜线性流动

2 对Butler的SAGD产量公式的质疑

图2、图3分别表示了上注下采双水平井的横剖面和垂直于水平井段的纵剖面。图4表示了Butler的上注下采双水平井的流体流动模式。Butler认为，被加热降黏的原油沿汽油界面夹角θ呈自下而上流动的状态（见图 5）。

图2 上注下采双水平井横剖面

图3 垂直水平井段2个平面径向流的剖面

图4 SAGD流体流动示意[1]

图5 单侧汽油汽界面的垂向剖面[1]

Butler应用达西定律提出了所谓的微分流量公式（见图5），他是这样叙述的：注入蒸汽的温度为TS，油层温度为TR，注入蒸汽在汽油界面处凝结；汽油界面的水平夹角为θ，界面处的温度为TS；热量经传导进入较凉的油层（未受到加热影响）位置。在距汽油界面ξ时，原油的动力黏度为μo，或运动黏度为νo，应用达西定律可以写出单位厚度（应为单位水平井段的长度）截面积的流量为[1]

Butler认为，由于ρg的数值比ρo值小得多，可以忽略不计。 考虑动力黏度与运动黏度的关系，μo/ρo=νo，可

将式（9）又改写为

由式（6）和式（10）对比可以看出，Butler提出的式（9），只考虑了蒸汽驱的重力辅助驱动作用和单侧单位水平井段长度的流量，而且Butler将式（10）中的dq错误地称为微分流量（differential flow）。通过将式（9）和式（7）对比，可以看出，Butler的SAGD产量公式存在如下主要问题：

1）达西定律表示的流量，为稳定的常数流量q，决不能写为式（9）的微分流量dq形式，因为q为常数，dq=0。

2）由达西定律表示的流量与压力梯度成正比的关系式，流体通过的截面积A为常数，决不能写为微分形式的dξ×1。对于上注下采的双水平井开采系统，截面积A可以写为流动宽度W与水平井段长度L的乘积，即A=WL。而宽度W可取为水平井距的1/4。

3）在公式（9）中，Butler应将重力辅助驱动的地层原油密度写为ρo，而不应写为地层原油与蒸汽的密度差（ρo-ρg），然而其后他又将 ρg改为 ρo。

4）对于未加热的油层，Butler由式（10）写出的微分流量为

Butler将式（10）减式（11），得到由于加热增加的微分流量：

不清楚是什么道理，Butler又重新定义dq=dq-dqr，而忽略了 dqr，将式（12）写为

应当指出，既然忽略了dqr的存在，就应当回到式（10），而不能再将式（12）写为式（13）。 也就是说，式（13）是不成立的。

5）为了得到双水平井上注下采系统单侧一边的产量公式，Butler又将不存在的式（13）写成了式（14）的积分形式：

由于达西定律的流量为常数，既不能写为微分形式dq，更不能对dq取上限为q、下限为0进行积分。同时Butler对式（14）地下运动黏度的倒数，取上限为∞、下限为0进行积分，也是毫无根据和实际意义的。

6）上述分析表明，Butler的式（14）是不正确的，因此，已完全没有必要再进行任何推导。然而，Butler却在式（14）的基础上又进行了毫无意义且存在问题的推导，最后得到了仅考虑重力辅助驱动作用双水平井单侧单位水平井段长度的产量公式：

对于全水平井段，两边倾斜流动Butler的SAGD产量可写为

将式（15）代入式（16），可以得到 Butler的 SAGD产量公式：

3 对Butler SAGD产量公式单位变换

应当指出，在油气藏工程计算中，任何理论公式的推导，所使用各项参数的单位，均为SI制基础单位。当然，所得到的也是SI制基础单位表示的公式。这些公式要想在实际中加以应用，都需要经过公式的单位变换。如果不经过由SI制基础单位变换到SI制矿场实用单位，或者变换错误，都会导致计算结果的错误。现对Butler的SAGD产量公式进行由SI制基础单位到SI制矿场实用单位的变换如下。

由SI制基础单位表示的Butler式（17），变换为SI制矿场实用单位的方法为

整理式 （18），得由SI制矿场实用单位表示的Butler公式：

4 应用举例

引用文献[1]的各项参数的数值列于表1，试用Butler的式（19）计算双水平井的产油量。应当指出，表1中地层原油密度单位具有的关系为，1 g/cm3=1 000 kg/m3=1 t/m3。

将表1中各项参数值代入式（19），得Butler公式计算的水平井产量为

表1 产量计算参数

对于一口水平井来说，Butler的SAGD产量公式计算的结果，低得令人难以置信。

5 结论

通过本文的研究表明，Butler双水平井的SAGD产量公式，由于在建立、推导的过程中，对于达西定律认识上的偏差和数学方法应用上存在的问题，导致了所得结果的不正确性和不可靠性。Butler的SAGD产量公式，仅考虑了流体重力的辅助驱动作用，而忽略了注采井之间注入压力的驱动作用，因此必然导致产量计算结果难以置信地偏低。这也说明了，迄今为止，为什么几乎看不到Butler的SAGD产量公式，在实际中得不到有效应用的原因。最后，应当指出，在Butler的SAGD产量公式中的渗透率，应为地层原油黏度下的有效渗透率，而不是岩心分析的空气渗透率。

6 符号注释

括号中为矿场实用单位制单位。

A 为达西线性流动的截面积，m2（m2）；g为重力加速度，9.806 m/s2；h为油层厚度，m （m）；K 为地层原油黏度μo下的有效渗透率，μm2（mD）；L为水平井段长度，m（m）；m 为温度指数，取值 3～4；p 为达西稳定倾斜流动的某质点的压力，Pa（MPa）；p1为达西稳定倾斜流动的入口压力，Pa（MPa）；p2为达西稳定流动的出口压力，Pa（MPa）；qL为达西倾斜线性流动的稳定流量，m3/s（m3/d）；q1为在（p1-p2）驱动作用的达西倾斜线性流的流量，m3/s（m3/d）；q2为流体重力驱动作用的达西倾斜线性流的流量，m3/s（m3/d）；dq 为 Butler的单侧加热油层达西倾斜线性流单位水平井段长度的微分流量，m3/s（m3/d）；dqr为Butler的单侧未加热油层达西倾斜线性流单位水平井段长度的微分流量，m3/s（m3/d）；q为Butler的单侧加热油层达西倾斜线性流的单位水平井段长度的流量，m3/s （m3/d）；QB为 Butler的SAGD产量，m3/s（m3/d）；l为达西稳定倾斜线性流动的长度，m（m）；Soi为原始含油饱和度，f（f）；Sor为残余油饱和度，f（f）；W为达西倾斜线性流动的截面宽度，m（m）；Z为达西倾斜线性流某流动质点距参照面的垂直距离，m（m）；θ为倾斜线性流动的水平夹角，°（°）；ρ为达西流动的流体密度，kg/m3（g/cm3）；ρo为地层流动的原油密度，kg/m3（t/m3）；u为界面法线方向移动速度，m/s（m/d）；μ 为达西流动的流体动力黏度，Pa·s（mPa·s）；μo为地层流动的原油动力黏度，Pa·s（mPa·s）；νo为加热油层流动的原油运动黏度，St（cSt）；νr为未加热油层流动的原油运动黏度，St（cSt）；α为热传导率，m2/s（m2/d）；ξ为Butler流动模型dξ流动单元距汽油界面的垂直距离，m（m）。

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