Maple软件在阻尼振动和受迫振动教学中的应用

刘 萍，曾葆青，高玉梅

(电子科技大学 a.中山学院，广东 中山 528402； b.物理电子学院,成都 610054)

Maple软件在阻尼振动和受迫振动教学中的应用

刘 萍a,b，曾葆青a,b，高玉梅a

(电子科技大学 a.中山学院，广东 中山 528402； b.物理电子学院,成都 610054)

文中以阻尼振动和受迫振动作为应用举例，讨论了Maple软件在大学物理教学中的应用。由阻尼振动和受迫振动运动方程，运用Maple软件强大的计算功能，可以在课堂中现场计算出阻尼振动和受迫振动的位移表达式；运用Maple软件便捷的辅助画图功能，可以非常方便地画出各种参数下振动位移随时间的演化曲线，起到随堂演示的效果。Maple软件在教学中的运用，可以提高学生对阻尼振动和受迫振动两种运动形态的理性理解和直观印象，提高教学质量。

大学物理；阻尼振动；受迫振动；Maple软件

物理学是探讨物质结构和物质运动基本规律的科学。由于研究对象非常广泛，研究方法必须突出主要矛盾，才能极好地锻炼大学生的理性思维。大学物理是理工科低年级大学生必修的基础课程之一。阻尼振动和受迫振动又是大学物理中基本而重要的教学内容。研究振动问题时，运动方程的求解是教学的一个难点，很多教科书中没有给出详细的求解过程，而是直接列出了方程的解。在阻尼振动和受迫振动的教学中，我们在教会学生对运动方程进行手算的同时，也会教学生如何用Maple软件来计算，让学生的“手算”和“脑算”两手都要硬。同时，用计算机辅助做出阻尼振动和受迫振动的位移时间演化图，加深学生对这两种振动在各种不同参数条件下的位移演化的直观印象。

Maple软件是通用的数学和工程软件，提供了强大的符号计算和数值计算功能。从简单的数字计算到高度复杂的非线性问题，Maple都可以快速、高效地解决。它的画图功能也非常齐全。Maple软件以其便捷的人机交互方式，强大的数值计算能力和符号计算功能，成为众多数学软件中的佼佼者[1-2]。

本文分别介绍Maple软件在阻尼振动和受迫振动教学中的应用。

1 阻尼振动

阻尼振动的运动方程为[3-4]

(1)

式中：γ为阻力系数。

(2)

式中：δ称为阻尼系数；ω0为无阻尼时振子的固有角频率。

我们在课堂上用Maple软件演示了此运动方程的求解。运用Maple软件的符号计算功能，可在Maple软件界面中输入以下命令“dsolve(diff(x(t),t,t)+2*delta*diff(x(t),t)+omega[0]^2*x(t));”系统反馈计算结果是

式中：C1和C2是任意的积分常数。为了避免出现复数，我们根据δ与ω0的三种大小关系δ<ω0，δ=ω0，δ>ω0分别运算式(2)的结果。

1.1 准周期阻尼振动：δ<ω0

x=A0e-δtcos(ω1t+φ0)

(4)

运用Maple软件的画图功能，可以对式(4)用如下命令画出准周期阻尼振荡图形：“plot(dsubs(A[0]=0.2,phi[0]=0,delta=0.2,omega[1]=1,A[0]*exp(-delta*t)*cos(omega[1]*t+phi[0])),t=0.30);”准周期振动的特点是振幅不断衰减，我们可用软件画出体现振幅衰减特性的曲线。从式(4)，学生可以很理性地了解当阻尼系数较小时位移的演化趋势。而通过图形的展示，可以帮助学生直观地了解位移的演化曲线。

1.2 临界阻尼振动和过阻尼振动

准周期阻尼振动、临界阻尼振动和过阻尼振动的位移随时间的演化图形如图1所示。其中，曲线a对应准周期阻尼振动，曲线对应过阻尼振动，曲线c对应临界阻尼振动。

图1 三种阻尼振动图形

运用Maple软件的符号计算功能和画图功能，可很方便地得到临界阻尼振动和过阻尼振动的表达式和演化曲线。为了比较不同δ下的演化曲线，可用display命令将所画的准周期振动、临界阻尼振动和过阻尼振动的三个图形列在一张图上，如图1所示。从图1可知，临界阻尼振动中振子运动到平衡位置的时间比过阻尼中振子运动到平衡位置的时间要长。这三种状态的位移演化曲线显示出，临界阻尼情况下，振子最先从运动状态过渡到静止状态。在课堂中，我们一方面从物理学受力分析的角度，定性分析这种现象；同时，借助计算软件现场推导本文中所列的公式和展示图形，对这种现象进行理性说明，加强学生对阻尼振动的理解。

2 受迫振动

物体的运动总是受到阻尼的作用。受到阻尼的物体在周期性外力的持续作用下发生的振动称为阻尼受迫振动，有时也简称受迫振动。其运动方程为[4]

(5)

(6)

当振子刚开始运动时，振子的运动不稳定，这个过程称为暂态过程。暂态过程的位移曲线非常复杂。固有频率和外力频率的大小，阻尼振动和受迫振动的初始相位和初始振幅的大小，都会影响暂态过程的时间演化曲线。我们在教学中讨论了固有频率和驱动力频率相同，阻尼振动和受迫振动初始振幅相等的典型情况。即使在频率和位移的双重限制条件下，不同的相位关系仍可以画出形态完全不同的暂态振动曲线。通过典型例子的讨论，让学生体会暂态过程的位移演化曲线的多样性。

第一种情况：固有频率和外力频率相等，阻尼振动和受迫振动的初始振幅相等，初始相位相反。这种情况下的阻尼受迫振动在教材中有非常广泛的介绍。

第二种情况：固有频率和外力频率相等，阻尼振动和受迫振动的初始振幅相等，相位相等。此时，我们可对式(6)运用Maple软件画出如图2所示的演化图。阻尼振动和受迫振动的初始相位相等所画出的演化图形在教材中介绍得较少。我们只是讨论了固有频率和外力的驱动频率相等条件下的图形，如果频率大小关系变化，或者阻尼振动和受迫振动的初始振幅的大小不可比拟，图形又会发生很大的变化。从我们举的两个例子，已经可以让学生体会这种演化的多样性。

图2 受迫阻尼振动的位移随时间的演化曲线二

3 结束语

阻尼振动和受迫振动是大学物理的重要教学内容。阻尼振动和受迫振动的表达式和演化曲线相对较为复杂，如果简单罗列表达式，学生对这两种振动的印象不会深刻。运用Maple软件，在课堂中现场计算、现场画图演示，可加深学生对这两种振动的理解。对参数稍加调整，便可马上画出不同的图形，这种便捷性使得我们在课堂上可以大量展示各种参数下阻尼振动和受迫振动的演化曲线。运用Maple软件辅助阻尼振动和受迫振动的教学，不仅锻炼了学生的物理思维,也锻炼了学生借助计算机软件对物理情景进行计算和分析的能力，提高了教学效果。

作者衷心感谢电子科技大学王世璠教授的有益讨论和热情帮助。

[1]刘萍，谭朝阳.数学物理方法中“行波法”教学方法改革探索[J].衡阳师范学院学报,2013,34(3):149-150.

[2] 王悦悦，戴朝卿，赵丽华.用Maple软件辅助大学物理实验教学[J].实验科学与技术, 2012,10(1):56-57.

[3]王晓勇.利用受迫振动仪直接观察“拍”现象[J].实验科学与技术, 2004,2(1):85-86.

[4]张小丹,洪小达.简明大学物理[M].2版.北京：科学出版社,2008.

Application of Maple Software in Teaching of College Physics

LIU Pinga,b,ZENG Baoqinga,b,GAO Yumeia

(a.Zhongshan Institute, Zhongshan 528402, China;b. School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

The application of Maple software in the teaching of college physics is discussed in this paper, where damped vibration and forced vibration are taken as the examples. Using the powerful computing capabilities of Maple software, one can obtain the formulas of the displacements. The vibration displacement curve evolutions with different parameters can be obtained with the help of drawing function of Maple software, which can play the effect of demonstration in class. The application of Maple software in the teaching of damped vibration and forced vibration can enhance the rational understanding of the two movement patterns and improve teaching quality.

college physics; damped vibration; forced vibration; Maple software

2014-02-28；修改日期: 2014-04-19

国家自然科学基金资助项目(11305031)；广东省自然科学基金资助项目(S2013010011546)；广东省高等学校优秀青年教师培养计划资助项目(Yq2013205)；中山市科技计划资助项目(2013A3FC0334)；广东省教学质量工程基金资助项目(ZYGX201401)。

刘 萍(1980-)，女，博士，副教授，主要从事物理学教学与研究工作。

TP319;O4-39

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2015.02.014