立足基础知识，重视“通性通法”

陈谨师

2014年高考是重庆市2010年高中新课改后的第二次高考，试题遵循《考试说明》中“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注意考查进入高校继续学习的潜能”要求，兼顾数学基础、方法、思维、应用和潜能等方面的考查。试题总体上体现了“稳定和创新”，与2013年试题持平。试卷延续了近几年高考数学命题的风格，内容丰富，与教材联系紧密，难易梯度明显，试卷整体难度适中；试题无偏题怪题，主干知识覆盖面较广。试题在题型设置、试卷结构、难度控制等方面都保持了稳定，形成平稳发展的稳定格局。总的来讲，今年试题平稳中有创新，科学中有美感，理论性中有应用，既有利于高等学校选拔，又有利于中学素质教育的实施，促进了数学教育改革的发展。

一、特色解读

（一）考点覆盖面广，注重数学本质的考查

选择题从第1题至第10题，考点依次为复数、数列、统计、函数、算法框图、简易逻辑、简单几何体、双曲线、不等式、函数与方程；填空题从第11题至第16题，考点依次为集合、初等函数、三角函数、直线与圆、概率；解答题从第16题至第21题，考点依次为数列、概率、三角、导数、立体几何、解析几何。试卷所考查的知识点覆盖面广，内容丰富，注重了数学本质及数学核心概念，数学通性通法及知识形成过程和蕴含的数学思想的考查，例如：第7题、第20题考查了空间想象能力和观察分析问题的能力；第15题体现了运动变化的思想；第3题、第17题考查了数据处理能力；第17题体现了数学的工具性和应用性。

（二）试题难易适中，兼顾能力立意

试题总体上由易到难，结构合理，层次分明，有利于稳定学生考试情绪、正常发挥水平。选择题第1题至第7题，填空题第11题和第12题，难度都很低，随后的题目难度逐步加大，比如选择题最后两题和解答题的最后两题，区分度就加大了，对学生综合应用能力的要求较高，充分体现考试不是简单计算，而是需要考生运用构建、联想、推理等进行答题。

（三）注重知识与方法的交汇

今年试题仍然以构成数学知识体系的主干知识为主体，为了对数学基础知识的考查达到“既全面又突出重点”的考试要求，在强化了对数学基础考查的同时，也注重了知识与方法的交汇，加强了知识之间的交叉、渗透和组合，体现了知识的综合性。例如：第9题对数运算结合均值不等式，第15题几何概型结合线性规划，第12题对数结合二次函数，第17题统计结合概率，第18题解三角形结合三角运算，第19题函数与导数，第21题圆与椭圆。

（四）试题“生活化”

数学源于生活，又贴近、服务于生活。今年的数学试题非常“生活化”，需要考生利用数学知识解决生活中的各种问题。比如：第3题对初、高中学生进行分层抽样，第7题的几何体也是考生平时常见的，第15题的背景是每位考生平时最为熟悉的，第17题是关于20位学生数学成绩的统计分析问题。新《课程标准》指出：“教学应该充分利用学生已有的生活经验，引导学生把已学的数学知识应用到现实生活中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”试题的“生活化”是大势所趋，体现了课改精神。

二、亮点扫描

题一：（文7）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A.54 B.60 C.66 D.72

【命题立意】本题主要考查三视图，几何体的性质特征及其表面积的计算，考查考生的空间想象能力和计算能力，难度中等。

【解题思路】结合正视图、侧视图、俯视图以及常见几何体三视图的特征，可以想象出该改几何体是由一个三棱柱沿其上底面的一条棱切去一个三棱锥而得到，亦可看成一个三棱柱和三棱锥叠在一起的组合体。

【亮点评议】本题虽然是一道选择题，却考察了《简单几何体》这一章节的大部分知识点，是《简单几何体》这章的浓缩。“以点盖面”是本题最大的亮点。

【变式训练】

变式一：某几何体的三视图如图一所示，则该几何体的表面积为 .

图一 图二

变式二：某几何体的三视图如图二所示，则该几何体的体积为_________.

题二：（文9）若 则的最小值是（ ）

A. B. C. D.

【命题立意】本题主要考查对数的运算、基本不等式的性质、最值求法，考查考生分析问题及综合运用数学知识解决问题的能力，考查化归转化等思想。本题难度中等偏上。

【亮点评议】本题将对数运算和不等式进行有效结合，通过对数运算最终转化为学生较为熟悉的利用均值不等式求代数式最值的题型，创意不错。

【变式训练】

变式一：已知点P（a，b），（a>0，b>0）和直线l：x+2y=1上的

一点Q之间的最短距离为，则+的最小值是_______.

变式二：已知实数a，b满足21g（-2）=1g（2+3），则ab的最大值是______.

题三：（文10）已知函数，且

在（-1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）

A. B.

C. D.

【命题立意】本题主要考查分段函数的概念、函数图象、函数的零点，考查考生分析问题及综合运用数学知识解决问题的能力，考查数形结合、化归转化、方程等思想。本题难度中等偏上。

【亮点评议】本题题型并不新颖，所涉及的函数都是最常见的，最简单的，却成为选择题压轴题，可见命题者用心良苦，用平凡造就出不平凡。

【变式训练】

变式一：已知函数的图象与直线y=mx+m有2个不同的交点，则实数m的取值范围是______.

变式二：已知函数在（0，1）上有极大值点，在（1，2）有极小值点，则的取值范围为（ ）endprint

A. B. C. D.

题四：（文15） 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_______ （用数字作答）。

【命题立意】本题主要考查几何概型的概率求法、二元一次不等式组所表示的区域等基础知识，考查考生对几何概型的理解应用，同时也体现运动变化的思想。

【解题思路】本题易判断是几何概型，涉及小张和小王的到校时间，易想到用双变量x，y，从而根据题意得到x，y的约束条件，从而找到可行域，计算出概率。

【亮点评议】本题背景为考生所熟悉，对每位考生都很公平，且与课本例题联系紧密。可见在高三复习中，“回归课本”是多么的重要。

【变式训练】

变式一：在长度为10的线段上任取2点，将线段分成三段，则这三段可以构成三角形的概率是_______。

变式二：利用计算机在（0，1）内产生两个随机数a和b，则函数f（x）=x2+ax+b有零点的概率是_______。

变式三：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.

（1）如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 ，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；

（2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率.

题五：（文21）如题（21）图，设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.

求该椭圆的标准方程；

是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，如果有，求圆的半径。

【命题立意】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线与直线、直线与椭圆、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力；考查数形结合、函数与方程等数学思想.

【亮点评议】本题亮点在于利用对称性能很好地解决第二小题，打破了以往解决圆锥曲线题的固定模式，起到去模式化作用。

【变式训练】如图，设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥DF2，=.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在开口向上且以轴为对称轴的抛物线，使抛物线在x轴的上方与椭圆有两个交点，且抛物线在这两个交点处的切线相互垂直并分别过F1，F2. 若存在，求直线y=x被该抛物线截得的弦长； 若不存在，请说明理由。

复习启示

通过对2014年重庆市的高考数学（文）试题的分析，我认为在今后的数学教学和复习中应该注意以下几点：

（一）突出主干知识结构，扎实打好知识基础，回归教材

常规题型依然是高考试卷的主流，主干知识支撑了整个试卷，考查的几乎都是现行高中数学教材中最基本、最重要的数学知识和数学思想方法。高三复习应改变以往片面追求“新、奇、怪”的极端做法，回归教材，狠抓基础，灵活运用知识处理分析问题。研究高考试题，以高考试题为范例展开发散思维，变式演练，以主干知识复习为核心，突出重点，目标明确，通法通解，狠抓实练。数学知识结构的形成和发展，是一个知识积累、梳理的过程。在教学和复习中，应注意各部分知识在各自发展过程中的纵向联系，以及各部分知识之间的横向联系，理清脉络，构建知识网络，充分重视主干知识的支撑作用。

（二）重视知识的形成，深化和提高数学理性思维能力

数学基础知识的学习要充分重视知识的形成过程，解数学题要着重研究解题的思维过程，弄清基本数学方法和基本数学思想在解题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一个数学问题的多条途径，注意猜想，归纳抽象，逻辑推理，演绎证明，运算求解等理性思维能力。

（三）规范解答

能否考高分，规范解答至关重要。在平时复习中，建议做好以下几点：保持良好的答题心态；用好考前5分钟；合理分配答题时间；做题顺序先易后难；会做的题目要集中精力解答，语言表述要规范，避免无谓失分；碰到拿不准的题要把会做的写出来，不要留尾巴；碰到难题既不能轻易放弃，也不要抓住不放；草稿纸的使用要得当；注意填涂答题卡。

（四）调整心态，增强应变

适当地注重学生的心理素质的培养，使他们经受挫折和失败的考验，增强抵抗压力的能力，增强适应各种题型的应变能力。endprint