闭式整体叶轮的定轴插铣方法*

郭然曹利新/大连理工大学机械工程学院

王洁/中国北车集团大连机车研究所

闭式整体叶轮的定轴插铣方法*

郭然曹利新/大连理工大学机械工程学院

王洁/中国北车集团大连机车研究所

为了在粗加工阶段快速去除材料，将闭式整体叶轮通道的定轴插铣的理论模型概括为通道曲面的内接柱面的最大体积的优化问题。同时，构建并解算了叶轮通道的内接柱面沿其直母线方向的投影面积最大的优化模型，并提出了闭式叶轮在粗加工中从两侧进刀时的分段依据，进一步提高了闭式叶轮粗加工时可去除最大体积粗加工材料。最后，以一轮毂直径为400mm，叶片个数为17的闭式叶轮做数值算例进行仿真，结果显示，材料去除比率为49%，验证了所提方法的可行性。

闭式叶轮；定轴插铣；最大内接柱面；叶轮通道分段

0 引言

工程中，形状复杂的通道类零件往往采用去除材料的方式加工[1]，由于其通道的复杂扭曲特性，闭式整体叶轮的传统加工方法多为分层铣削[2-3]，这种方法加工效率偏低，随着铣削深度加大，其加工效率和质量下降。插铣加工法是一种可应用于深槽型腔通道类零件的高效加工方法，刀具的受力变形小且刚度高，故十分适合闭式叶轮的粗加工[4-5]。李垒栋等[6]给出了插铣最佳逼近直线计算方法和叶盘的对接分层插铣加工路径。任军学等[7]提出了通道偏置直纹包络面的生成方法，并给出类闭式整体叶盘五坐标插铣刀位轨迹。梁全等[8]推导了五坐标插铣加工的行距和步距计算公式。孙晶和蔡永林[9]提出了一种将刀轴方向与进给方向成某一固定角度的插铣加工方法。裴立群等[10]提出将刀具调整到合适的角度后固定机床的两个旋转轴对流道加工的办法。董雷和曹利新[1]将叶轮的定轴插铣理论模型概括为通道曲面的最大内接柱面优化问题，提出了确定内接柱面直母线方向的最小二乘模型与解算方法。本文将定轴插铣法用于闭式叶轮的加工中，构建并解算了叶轮通道的内接柱面沿其直母线方向的投影面积最大的优化模型，并提出了闭式叶轮在粗加工中从两侧进刀时的分段依据，进一步提高了闭式叶轮粗加工时的材料的可去除量。

1 闭式整体叶轮通道的定轴粗加工的理论模型

为了快速去除闭式叶轮在粗加工阶段的材料，需要构建一个闭式整体叶轮定轴粗加工的数学模型[11]。如图1所示，闭式叶轮的通道是由叶片压力面Sp、叶片吸力面Ssu、轮毂盖盘面Ssh和轮毂轴盘面Sh围成。由于工程中的定轴加工常采用平头圆柱铣刀，闭式叶轮定轴粗加工后的包络面为铣刀圆柱面形成的一般柱面。由闭式整体叶轮的狭长且极度扭曲的流道结构可知，为了不与形成通道的压力面Sp、叶片吸力面Ssu、轮毂盖盘面Ssh和轮毂轴盘面Sh发生干涉，刀具只能选择从闭式叶轮的通道进口或出口方向进入通道。为了在粗加工阶段快速去除材料，故要求以刀具包络面为边界的通道柱面尽可能多地去除毛坯的材料。因此，可以将闭式整体叶轮的定轴粗加工的数学模型概括为由两个叶片曲面和两个轮毂面围成的四个约束面所围通道的内接柱面的最大体积的求取，见图1。

图1 闭式叶轮通道曲面的内接柱面图

设内接柱面的矢量方程为：

式中：s为准线C的曲线参数；t为柱面的直母线参数。准线C的矢量方程为：

式中：Pi（i=0，1,…，n）为控制顶点；Ni,3（s）为3次规范B样条基函数。

从式（1）、（2）可以看出，求解通道曲面内的最大内接圆柱面实际是对直母线的单位向量b和柱面准线C的求解，而准线C则是由若干个数据点通过B样条插值得到，所以该问题可归结为对直母线的单位向量b及准线数据点的求取。在实际求解中，考虑到直接求解内接柱面的体积有一定难度，但由于该体积与内接柱面B沿其直母线方向b投影面积大小成正比，当投影面积越大时，则意味着粗加工中的可去除材料越多。基于此，现构造沿直母线方向下的叶片和轮毂面所围通道投影面积模型，进而对直母线向量b及准线的数据点进行同时求解。

如图2（a），叶片压力面Sp、叶片吸力面Ssu、轮毂盖盘面Ssh和轮毂轴盘面Sh等四个约束面围成了通道曲面，b为柱面直母线方向，l为可以贯穿叶轮通道的初始刀轴线，则通道内的刀轴轴线的矢量方程为：

式中：P0为通道进口的刀轴轴线起始点坐标；t为轴线参数；柱面直母线方向向量b为：

现以l为轴线，平面M依次以固定角度α旋转n次可组成以l为轴线的一组空间平面束。图2（a）为平面束中第i和i+1个平面Mi和Mi+1。Mi和Mi+1和通道曲面相交形成交线qi和qi+1。

图2 到位规划区域的计算原理图

在图2（b）中，设qi上距离l距离最近的点为Pi*，其到l的距离为hi*。在图2（c）中，当平面绕轴线转过n次（n=12），即可求出n个距离l最近的点P1*，P2*，……，Pn*,其最短距离分别为h1*，h2*，……，hn*。则在该直母线的方向下，h1*，h2*，……，hn*两两依次可组成一个三角形的两条边，当n足够大时，则通道曲面的投影面积Area表示为n个三角形面积之和，即：

式中：Area为内接柱面的投影面积；n为平面束中平面个数；α=2π/n为固定角度。

柱面直母线方向b每改变一次，平面束的轴线即刀轴轴线更新一次，随之产生一个包含n个平面的平面束。因此，通道内接柱面的投影面积也改变一次。投影面积越大，则意味着在闭式整体叶轮粗加工中可去除的材料越多。另外，在实际加工中，刀具轴线应不与叶片曲面和轮毂面发生干涉，故需添加刀轴单位向量即柱面直母线方向的刀轴方向以不能穿过叶片曲面和轮毂面为边界的约束条件。

故该投影柱面优化模型可表示为：

式中：-Area为目标函数；i=1，2…n，n为平面束中平面的个数，j=1，2…p，p为cij上离散点数目，hi*是曲线qij上各点到直线l的最短距离；为曲线cij上各点到直线m的最短距离。约束函数的几何意义叶轮通道的内边界，在该区域内刀具不会与叶片曲面发生干涉。上面模型中的优化变量为刀轴的方向矢量，考虑到其为单位向量，故本模型的优化变量仅有式（6）中的dx和dy。式（6）所给出的是一个非线性优化模型，其优化变量为2个。该优化模型的求解方法将在下一节讨论。

2 优化模型的求解

2.1 平面束与轮毂面及叶片面的求交

四个约束面围成的通道狭长而扭曲，平面束的平面往往同时与四个约束面均相交。故欲直接求出通道曲面和四个约束的曲面的交线有一定难度。考虑闭式整体叶轮的叶片曲面[12]是由空间两条B样条曲线在其对应的u值上的连线，轮毂面则是B样条曲线沿z轴的回转面，所以，现首先将叶片曲面在对应u的参数下离散成一系列线段，而将轮毂面离散成许多的空间圆弧，从而将平面与通道曲面的求交线问题转化为平面与一系列空间线段和圆弧求交点问题，进而分别对所求解交点到刀轴轴线的距离进行计算即可完成投影面积的计算。即，通过求得这些离散的直线与圆的交点来完成平面束与通道曲面的求交。

图3 平面与压力面求交图

首先是平面束和叶片曲面的离散线段求交，需要联立平面方程与直线方程求解。如图3，设离散线段所在的直线的点向式方程是：

式中：x0,y0,z0直线上的一点的坐标；a,b,c为直线的方向向量。

平面束中的平面的点法式方程为：

式中：x1,y1,z1为平面上一点的坐标；A,B,C为平面法向量的点坐标。

联立式（7）、（8），即可求得空间直线与平面的交点。但考虑在实际中，叶片离散出来的只是式（7）中直线中的一段线段，为排除交点在线段外的情况，故需在求解前对线段相对于平面的位置进行预判，只有线段的两端点分别位于平面两侧时，才进行求解。

其次是平面束和轮毂面的离散圆弧求交，需要联立平面方程与空间圆方程求解。

图4 平面与盖盘面求交图

如图4，因为轮毂面是空间B样条曲线绕z轴转动形成的，所以求平面束中某一平面与轮毂面的离散圆弧交点实际上是轮毂面的离散圆弧与平面束的平面的交点。即需要式（8）和以下两个方程联立求解。

式（9）中，r为离散圆弧所在空间圆的半径，式（10）为该离散圆所在平面的方程。

联立式（8）（9）（10），其求解结果必含有一对解。但在实际中，与叶片离散直线类似，在通道曲面内，轮毂离散出来的只是空间圆上的一段圆弧，所以在求解结果中，只有一组解位于这段圆弧上。此外，对于轮毂曲面的离散圆与平面束求交，不仅要在求解前进行圆弧和平面位置的预判，而且要在求解之后对所求结果进行剔除。

另外，需要说明的是，在对平面束内的一个平面与叶片面和轮毂面求交的过程中，并没有对这一平面进行区域的限制，所以平面束中的每一个平面，都会与封闭的通道产生分别在刀轴轴线两侧的两组交点。故在实际求解中，考虑到平面束中的第n/2+i（i≤n/2）个平面实则与第i个平面的平面方程是相同的，故只需对其第1到n/2个平面进行求解，并将所求的最短距离h*进行编号，进而根据式（5）来计算通道内接柱面投影面积。

2.2 模型的求解

式（6）给出的通道内投影面积优化模型为二变量的非线性的数学模型，本文采用Matlab软件[13]中的Optimization Toolbox的Fmincon函数对该模型进行求解，该函数适合优化有约束条件的非线性多变量函数，求解过程简单迅速，其用法介绍如下：

式中：Final为返回的目标函数的最优解；Fval是返回目标函数在最优解Final点的函数值；Exitflag是返回算法的终止标志；Function是调用目标函数的函数名；Initial是初始迭代点；lb,ub为变量约束条件矩阵。

3 闭式叶轮通道分段依据

闭式叶轮通道极其狭长和扭曲，若单从一侧（即通道进口或出口）进刀，不仅对刀具及机床的刚度要求苛刻，在现实中难以达到，而且严重影响加工效率。甚至对于某些闭式叶轮而言，会因全局干涉问题而无法加工[14]，故有必要对通道分段进行加工。如图5（a），为方便计算及规划刀位，故采用压力面的轴盘线、盖盘线及吸力面的盖盘线上等参数u的三点，来确定一个平面来做流道的分界面Ku。Ku把闭式整体叶轮的通道分成上下两个独立的通道，对于每一个通道，均可利用式（6）的数学模型来优化出其投影面积最大的柱面，即图中B1和B2，设其体积分别为V1和V2。V=V1+V2越大，则在粗加工阶段可去除的材料越多。

图5 通道分段的确定图

对某一固定u值，如图5a，V=V1+V2，V1和V2分别为柱体B1和B2的体积，可分别利用柱体体积公式求解：

式中：A为柱面在直母线向量方向下的投影面积；h为柱面的高。

以B2为例，如图5（b），若做一法向量为柱面直母线向量且其边界为该平面和通道的闭合交线的辅助面Kc，则V2可以表示为：

式中：A2为Kc的面积；h2=为柱面的高；P1为柱体B2准线数据点的中点；Q为分界面Ku与B2的交线的数据点的中点。

V1的求解与V2类似，故该优化模型可以表示为：

式中：V为闭式叶轮粗加工时从两侧进刀可去除的总体积；A1，A2，h1，h2分别为通道分段后两个独立通道的最大内接柱面沿其直母线向量方向的投影面积和高；u为参数叶轮曲线参数。

该模型的优化变量为u，对于每个确定的u值，在计算体积之前，均需要利用式（6）中的数学模型对分段后的两个独立通道进行优化，考虑到求解该模型的难度和复杂度，本文不对模型的求解做深入讨论。在实际中，而是采取对一系列固定u值计算V的方式，确定闭式叶轮的通道的分界面。

4 数值算例

为了确定通道分界面的参数u，根据式（13），本文从0.3～0.7中选取了18个特定的u值对体积进行了计算，见表1。

表1 闭式叶轮通道分段的确定表

续表一

从表1中可以看出，体积V随着u的增加呈先增大后减小的趋势。根据表中数据，最后选择u=0.63，其最大体积V=227 979.62mm3。

应用第2节所提算法，现针对一直径为φ 400mm，叶片个数为17的闭式整体叶轮进行计算，n=360，α=1°，计算精度ε=10-6。利用第2节介绍方法计算可得定轴插铣时其被分界面Ku分割后的进口和出口处进刀时的最佳刀具单位矢量分别为：

图6为闭式整体叶轮分两段后的最大内接边界、插铣刀心位置和加工仿真，刀具直径分别为φ10mm和φ20mm。

有了刀具轨迹，就可以对闭式叶轮通道的粗加工进行仿真了。图7为叶轮通道仿真加工后的结果，两条红线所在平面为通道分段面Kc，从图中可以看出，采取对闭式叶轮通道进行分段加工的策略，不仅使闭式叶轮的粗加工成为可能，而且通过对分段后的两个通道采用不同的粗加工刀具直径进行加工，也在保证加工效率的情况下，增加了叶轮的材料支队率。即在分段参数u=0.63的情况下对闭式叶轮通道进行分段，对材料支队率进行计算，叶轮通道粗加工的材料支队率达到49%，验证了算法的可行性。

图6 投影面内刀位轨迹规划图

图7 插铣加工仿真图

4 结论

为了提高整体闭式叶轮在粗加工阶段的材料的可去除量，构建了闭式整体叶轮通道的定轴粗加工的理论模型，将其概括为通道曲面的内接柱面的最大体积的优化模型。根据闭式叶轮通道的结构和形状特点，对组成通道的四个约束面分别进行离散，即通道的两叶片曲面离散成空间线段，毂咸肉毂面离散成空间圆弧，将平面束与复杂曲面的求交问题转化为平面与空间线段和圆弧求交的问题。然后利用MATLAB计算可得上下各通道柱面的最佳刀轴矢量为0.211 3i-0.592 8j+ 0.777 1k和-0.112 3i-0.958 4j+0.263 4k。另外，提出了闭式叶轮通道粗加工时的分段依据，选取了一系列特定参数u值（u=0.3～0.7）对其进行了计算，选取其中体积最大的参数u=0.63作为分段依据。最后，针对一直径为φ400mm,叶片个数为17的闭式整体叶轮的粗加工进行了计算，n=360，α= 1°,计算精度ε=10-6，计算结果显示，粗加工的材料去除率达到49%，验证了算法的正确性。

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Plunge Milling Method w ith Fixed Rotating Axis ofa Closed Impeller

Guo Ran,Cao Lixin/School of Mechanical Engineering,Dalian University of Technology;
Wang Jie/CNR Dalian Locomotive Research Institute Co.,Ltd.

In order to remove material quickly at the stage of roughmachining ofa closed impeller,the theoretical model of the plungemilling of an impellerwith fixed rotating axis is summarized as an optimization problem of finding the maximum volume of the inscribed general cylindrical surface of the impeller’s tunnel surface.Meanwhile,an optimization model with the maximum projected area of the cylinder of impeller channel along the tool axis direction is established and calculated. The basis for determining the two segments from both sides of the closed impeller in roughmachining is proposed,it has further improved the ability of removing the rough machining material with maximum area of a closed impeller.Finally,the correctness of thesemethods is verified by an impeller with a wheel diameter of f400mm and blades number of 17 and the remove ratio of49.00%.

closed impellers;plunge milling with fixed rotating axis;maximum inscribed general cylindrical surface; impeller channeldivision

TP391；TK05

A

1006-8155（2015）04-0069-07

10.16492/j.fjjs.2015.04.028

国家自然科学基金（51175065）

2015-03-03辽宁大连116023