用导数新解一类最值问题

成宝娟　李钊

摘 要： 目前，高等数学教材中都没有介绍开区间或者半开半闭区间、无穷区间上连续函数的最值或者有有限个间断点的函数的最值问题。文章给出了开区间（a，b）或半开半闭区间（a，b]或[a，b）上连续函数的最值，同时给出了无限区间（（-∞，+∞），（-∞，a），（-∞，a]，[b，+∞），（b，+∞））上连续函数的最值以及有有限个间断点的函数最值的求法。

关键词： 导数； 自主学习； 最值； 区间； 连续

中图分类号： G 421，O 13 文献标志码： A 文章编号： 1671-2153（2015）03-0078-04

0 引 言

求函数的最值一直是数学教学中的热点问题，并且最值在日常生活以及学生专业学习中有着非常重要的应用[1]。求函数的最值常用的方法有：配方法、判别式法、换元法、不等式法、利用函数单调性求最值、平方法、数形结合法、导数法、线性规划法等[2]。在高职高专的数学教学中，一般重点介绍了最大值和最小值定理：闭区间上连续函数一定存在最大值和最小值[3]。各种高等数学教材中都介绍了利用导数求闭区间上的连续函数的最大值和最小值的方法，而对开区间或者半开半闭区间、无穷区间上连续函数的最值或者有有限个间断点的函数的最值却都没有介绍。在自主学习[4]过程中，为了激发学生的发散思维、创新[5]精神，应适时向学生提问：课本为什么对这类问题不作介绍呢？难道是课本遗漏了吗？可不可以借鉴闭区间上连续函数的最值的求法？本文对有限开区间或者半开半闭区间以及无穷区间上连续函数的最值、有有限个间断点的函数的最值进行探讨。首先规定-∞

1 有限开区间、半开半闭区间上连续函数的最值

2 无限区间上连续函数的最值

3 有有限个间断点的函数最值

对于有有限个间断点的函数最值则可以转化为有限个连续区间上函数的最值问题。

设f（x）在某个区间上有有限个间断点，则求f（x）在此区间上的最值的求解步骤如下：

（1） 求出函数f（x）在此区间上间断点，f'（x）=0的点和f'（x）不存在的点，计算以上各点对应的函数值，以及相应端点处函数相应的极限值、间断点处函数相应的左右极限值，比较以上各值，设其中最大的为M，最小的为m。

（2） 若M和m能在此区间上取到，则f（x）在此区间上的最大值为M，最小值为m；若M或m不能在此区间上取到，则f（x）在此区间上的相应最值取消，相应类型最值不存在。

4 结束语

由上述可以看出，有限开区间、半开半闭区间、无限区间上连续函数的最值，有有限个间断点的函数的最值的求法可以借鉴闭区间上连续函数的最值的求法，且方法简单方便。有限开区间、半开半闭区间、无限区间上连续函数的最值的求法为：先求出此区间内函数导数等于零的点和导数不存在的点，再求出这些点所对应的函数值以及端点处函数的相应极限，比较以上个值，其中最大的为M，最小的为m。若M或m不能在此区间上取到，则函数在相应区间上的相应最值取消，相应类型最值不存在。若M或m能在此区间上取到，则函数在相应区间上的相应类型最值保留，且大小不变。对于有有限个间断点的函数最值则可以转化为有限个连续区间上函数的最值问题。利用以上方法能够求解其他方法不易解决的最值难题。

参考文献：

[1] 朱琳琳. 基于Mathematica7.0下构建数学模型求解最优化问题[J]. 宁波职业技术学院学报，2012（2）：27-30.

[2] 俞永经. 解决最值问题的常用方法[J]. 数理化学习，2013（8）：16-18.

[3] 候风波. 高等数学[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2014：35.

[4] 成宝娟，石国凤. 论学生自主学习数学的策略[J]. 价值工程，2014，33（345）：231-232.

[5] 陆晓云. 自由是创新能力培养的必要范围[J]. 宁波职业技术学院学报，2014（2）：66-69.

（责任编辑：徐兴华）