探析高中数学教学中的分类讨论思想

陈志鸿

【摘 要】分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，教师了解、掌握分类讨论思想的一些相关内容，并且落实于平常的课堂教学中，能让学生能比较轻松地领会、掌握并能应用这种思想方法，对减轻学生学习的难度和负担具有重要意义。

【关键词】分类；原则；逐级性；步骤；分类讨论

分类讨论是自然界中事物的不同属性所要求的（比如，人可分为男人和女人），是分析问题、解决问题的需要，在数学中由于有些概念、性质、原理、公式受到不同条件的限制，图形位置与参数取值的变化，条件与结论不唯一确定等，都需要分类讨论。

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助。分类讨论思想贯穿于整个高中数学，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化。对培养学生思维的条理性、缜密性及提高学生分面、周密地分析问题和解决问题能力都起到十分关键的作用。分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，是高考的必考内容。

一、分类的定义及原则

所谓分类，是把一个“属概念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法。用集合论的观点来讲，设研究的对象的全集为I，按照一定的标准将集合I划分成若干个子集Ai（i=1，2，…，n），使得Ai=I（其中Ai∩Aj=，i≠j）。进行分类时要遵循以下两个原则：

（1）合理性原则：划分后的各个概念的外延的总和，应当与被划分概念的外延相等（即Ai=I，简称完备性），划分后各个概念之间不能重叠，它们之间的关系应当是互不相容的（即Ai∩Aj=，i≠j，简称互斥性），通常把这个原则称为不重复也不遗漏原则。

（2）同一性原则：每次划分的根据必须同一，即每一次划分时，标准只能一个，不能交叉地使用几个不同的划分标准， 通常说成分类时用同一把尺子。

二、分类的逐级性

有些问题仅靠一次分类是不够的，需对I中AK再进行分类，则称之为A的二级分类，依次类推称为三级分类，四级分类等，比如：空间两直线的位置关系，首先以平面的基本性质进行一级分类（分为在同一平面内与不在同一平面内），然后抓住两直线公共点的个数进行二级分类，因而在同一平面内的直线又分为相交直线与平行直线（或重合直线），在同级分类中标准必须统一，但不要求各级都用同一把尺子。

三、分类的对象与标准及解题的一般步骤

对哪一个对象进行划分，有些问题很明显（如指数，对数函数中的底数a），有些则比较隐蔽，需要认真分析，对同一个问题，不同的出发点和不同的思维方式所选择的划分对象也不尽相同，划分对象选得好，解法就简单，否则就复杂了，划分的对象确定后，紧接着就要确定分类的标准，而确定分类的标准要根据题目的要求及已有的知识，具体情况具体分析，它虽然没有统一的模式，但必须遵循就简原则。用分类讨论思想解题的一般步骤如下：

①确定分类讨论的对象；

②进行合理的分类讨论；

③逐类逐级分类讨论；

④综合、归纳结论。

四、分类讨论的常见类型

①由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等。

②由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列前n项和公式、函数的单调性。

③由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个整数、负数，三角函数的定义域等。

④由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等。

⑤由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。

五、简化或避免分类讨论的几种方法

①避开讨论因素。

②慎选公式、定理、精简分类因素。

③着眼全局整体，减少讨论级数。

④变更主元位置，简化复杂讨论。

⑤进行变量代换，消除讨论因素。

⑥等价转化，避免分类讨论。

⑦利用补集思想，解脱烦琐讨论。

⑧数形结合，避免分类讨论。

⑨利用函数观点，函数性质，简化分类讨论。

中学数学有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。数学分类讨论思想，贯穿于整个高中数学的全部内容中，应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化，而分类的过程，可培养学生思考的周密性，条理性，而分类讨论，又促进学生提高研究问题、探索规律的能力。

参考文献：

[1]傅荣强.新课标.高中数学.高中数学思想方法[G].北京：龙门书局，2009。

[2]任永生.活用分类讨论思想解决方程问题[J].数学学习与研究，2011，（04）。