二阶切触有理插值算子的构造方法

马 锦 锦

(安徽建筑大学数理学院， 合肥 230601)



二阶切触有理插值算子的构造方法

马 锦 锦

(安徽建筑大学数理学院， 合肥 230601)

通过引入二阶插值算子，给出了一种较为简便的构造切触有理插值的新方法和一种新型的切触有理插值公式。如果用该方法所得插值函数次数较高，还可以通过引入多个参数的方法，对所构造的有理插值函数进行降次。该方法比常用的连分式方法更为简便易行，具有较强的实用价值。

二阶插值算子； 切触有理插值； 降次； 参数； 连分式

已有的切触有理插值研究方法大多是基于连分式的方法[1-3]，这些方法运算量较大，并且运算也会受到特定条件的限制，不便于实际操作。本次研究引入二阶插值算子，给出一种较为简便的构造切触有理插值的新方法。

首先讨论切触有理插值问题。

(k=0,1,…,m)

切触有理插值理论与应用是有理逼近领域的核心构成部分，是计算数学学科中最引人关注的课题。切触有理插值是对一般有理插值的推广[4]，类似的有多项式插值中的Hermite插值[5]。尽管切触有理插值比一般有理插值形式复杂，但其应用性更强，在量子力学、量子场论、原子和分子物理、控制论和数值分析等科学领域都有非常广泛的应用。

1 构造切触有理插值算子

传统方法构造的切触有理插值比一般有理插值形式复杂，在应用过程中带来很多不便，比如结构繁琐、计算量大。为克服这些缺点，利用多项式插值构造插值基函数，引入一种新型的二阶插值算子，用于构造切触有理插值函数。如果构造的切触有理插值次数较高，可以通过引入参数的方法，将所构造切触有理插值函数的分子分母同时降低次数，给出形式较为简洁的低次切触有理插值，因而在实际应用中可以极大地减少计算量。

步骤一：给出用于构造插值基函数的多项式插值。

构造多项式插值如下：

对于给定的x0

wk(x)=(x-x0)…(x-xk-1)(x-xk+1) …(x-xm)

(1)

以上构造的多项式插值wk(x)满足：

这种多项式插值的特性有助于插值基函数的构造。

步骤二：构造插值基函数。

(2)

其中，

(3)

以上构造的插值基函数αk(x)满足：

通过这种方法给出的插值基函数形式简洁，规律性强，便于构造切触有理插值。

步骤三：引入二阶插值算子，构造切触有理插值函数。

给定x0

pk(x)=f(xk)+f′(xk)(x-xk)+f″(xk)(x-xk)2

(k=0,1,2,…,m)

(6)

则式(6)满足：

(7)

用以上构造的二阶插值算子式(6)，给出插值公式：

(8)

即为利用二阶插值算子所构造的插值公式。经过验证：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

(9)

式(8)中所构造的切触有理插值函数结构简单，且其应用无条件制约。传统的连分式方法计算必须先假定计算中每一步的可行性，即分母是零的情况不会出现，而实际计算前根本无法判定。新型切触有理插值构造法可以很好地避免连分式方法的这一缺点。

例1 给出节点以及相应的函数值、导数值如下：

x0=1f(x0)=0f′(x0)=1f″(x0)=2

x1=0f(x1)=1f′(x1)=2f″(x1)=3

x2=2f(x2)=2f′(x2)=0f″(x2)=1

解：由式 (6) 可求二阶插值算子：

p0(x)=0+(x-1)+2(x-1)2

p1(x)=1+2(x-0)+3(x-0)2

p2(x)=2+0(x-2)+1(x-2)2

由式(1) — (3)知：

通过式(7)可求出：

(10)

经过验证：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2;s=0,1,2)

式(10)中的切触有理插值函数R(x)是通过引入二阶插值算子得到的有理插值函数。从上述实例中可以看出，新型切触有理插值构造方法思路简单清晰，构造的切触有理插值函数形式较为简洁，且其应用并无连分式方法的约束条件，因此其应用范围广，具有较强的应用价值。

也可以对所构造的切触有理插值函数进行降阶，给出普遍适用的降阶方法，用这种降阶方法可以灵活地引入参数，降低所构造的切触有理插值函数分子分母的次数，也可以通过该降阶方法，连续多次地对插值函数进行降阶，得到次数符合应用需求的切触有理插值函数。

步骤四：引入参数，给出降低切触有理插值函数分子分母次数的一般方法。

给定节点x0

(11)

满足插值条件：

R(l)(xs)=f(l)(xs) (l=0,1,2)

例2 对例1中用二阶插值算子构造的有理分式函数R(x)进行降次。

由式(11)知：

令2β0+3β1+β2=0，将有理分式进行降次，则β0=-2,β1=1,β2=1，故：

(12)

式(12)中分子次数为5次、分母次数为2次，而式(10)中所构造原始插值函数的分子次数为6次、分母次数为4次，通过该方法实现了降次。由于该方法可以灵活地降低切触有理插值函数的次数，可用于模糊控制和估计复杂系统的可靠性中，建立新型插值控制，具有广泛的应用范围。这种算法下的控制器具有设计简单，不需要选择具体的隶属函数，不需要过多的专家经验等好处，其控制效果较好，在实际生产中具有更大的灵活性和应用价值。

2 结 语

实例证明通过引入参数实现对有理函数分子、分母进行降次的方法是十分有效、实用的，而且操作方便，计算量不大。

通过引入二阶插值算子，给出的构造切触有理插值函数方法比常用的连分式方法更为简便易行，给出的插值公式也较为实用。可以将这种思想方法继续推广，给出高阶的插值算子，用于解决更为复杂的切触有理插值问题。本次研究所给出的切触有理插值构造的新方法由于结构简洁，降阶规律性强，需要的计算量较小，因此在模糊控制论、图像压缩与重建、有理曲线和曲面生成、以及复杂系统性能评估等领域都有较强的应用价值。

[1] 王仁宏，朱功勤.有理函数逼近及其应用[M].北京：科学出版社，2004:13-25.

[2] Mainar E，Pena P M. A Basis of C-Bezier Splines with Optimal Properties[J]. Computer Aided Geometric Design，2012，19(4):291-295.

[3] Wang G Z，Chen Q Y，Zhou M H. NUATB-spline Curves[J].Computer Aided Geometric Design，2004，21(2):193-205.

[4] 朱功勤,马锦锦.构造切触有理插值的一种方法[J].合肥工业大学学报(自然科学版)，2006，29(10):1320-1326.

[5] 陈之兵.Salzer定理的二元向量形式[J].数学研究评论，2003，23(2):233-236.

A Method of Constructing Bivariate Osculatory Rational Interpolating Operator

MAJinjin

(College of Mathematics & Physics, Anhui University of Architecture, Hefei 230601, China)

In this paper, osculatory rational interpolating function was constructed by a new method of introducing bivariate interpolating operator. For osculatory rational interpolating function that we had constructed, we could reduce its number of times by choosing parameters. This new method in this paper was fairly simple and had immense application foreground.

bivariate interpolating operator; osculatory rational interpolation; deflation; parameter; continued fractions

2015-07-17

安徽省教育厅自然科学重点研究项目“几何计算中的曲线曲面的融合技术研究及其应用”(KJ2015A328)；安徽省教育厅自然科学一般研究项目“曲线曲面构造的新方法及其在工程设计中的应用”(KJ2015JD16)；安徽省高等学校省级自然科学研究项目“流密码密钥流序列的复杂性分析与研究”(KJ2015JD18)

马锦锦(1981 — )，女，安徽临泉县人，硕士，讲师，研究方向为应用数值逼近。

O241.3

A

1673-1980(2015)05-0101-03